[論文レビュー] Compact generation of the category of D-modules on the stack of G-bundles on a curve

Vladimir Drinfeld, Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、特徴標数0の体上の滑らかな射影的曲線のG-バンドルのスタック上のDモジュールのDG圏が、スタックが非準密であることにもかかわらずコンパクト生成であることを確立する。証明では『共切断性』という概念を導入し、部分旗多様体への${\mathbb{A}}^1$-作用による新規な収縮原理を用いて問題を扱いやすい状況に還元し、双対性と極限の議論により最終的にコンパクト生成性を示す。

ABSTRACT

The goal of the paper is to show that the (derived) category of D-modules on the stack Bun_G(X) is compactly generated. Here X is a smooth complete curve, and G is a reductive group. The problem is that Bun_G(X) is not quasi-compact, so the above compact generation is not automatic. The proof is based on the following observation: Bun_G(X) can be written as a union of quasi-compact open substacks, which are "co-truncative", i.e., the j_! extension functor is defined on the entire category of D-modules.

研究の動機と目的

• 特徴標数0の体上の滑らかな射影的曲線のG-バンドルのスタック$\operatorname{Bun}_G$上のDモジュールのDG圏$\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$が、非準密であるにもかかわらずコンパクト生成であることを確立すること。
• 特に共切断性と切断可能性を用いた枠組みを用いて、非準密スタックの導来代数的幾何における取り扱いを一般化すること。
• $\operatorname{Bun}_G$の非準密な場合へのDモジュール理論を、群作用と双対性を用いた新技術を導入することで拡張すること。
• 幾何的ラングランズプログラムや関連分野におけるさらなる応用を可能にする基礎的結果を提供すること。

提案手法

• 開部分スタック$j: U \hookrightarrow \operatorname{Bun}_G$に対して共切断性の概念を導入し、$\operatorname{D-mod}(U)$上での$j_!$関手の存在を保証する。
• Harder-Narasimhan-Shatzの層化による$\operatorname{Bun}_G$の分解を用い、$P$-適切集合と還元論を用いて解析可能な層に分ける。
• $\operatorname{Bun}_{P^-}$への${\mathbb{A}}^1$-作用を用いたスタック的収縮原理を適用し、層を収縮させて問題をより単純で解析しやすい状況に還元する。
• 双対性とind完備化の技術を用いて、$\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$を準密部分スタック上のカテゴリの極限と関係づけ、$\operatorname{D-mod}(U)$の双対カテゴリの性質を活用する。
• 主定理の証明における重要な同型を確立するために、$\operatorname{D-mod}({\mathbb{A}}^1)_\mu$におけるモノドロミー的カテゴリとイデムポテンス代数を用いる。
• リーマン＝ヒルベルト対応の変種と無限大のジョルダン型ブロック（$I^{-\infty,0}$）の構造を用いて、モノドロミー的Dモジュールを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタック$\operatorname{Bun}_G$が非準密であるにもかかわらず、DG圏$\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$はコンパクト生成可能か？
• RQ2 $\operatorname{Bun}_G$の開部分スタックに対して、$j_!$関手が$\operatorname{D-mod}(U)$全体で存在するための条件は何か？
• RQ3 ${\mathbb{A}}^1$-作用を用いて$\operatorname{Bun}_G$の層を収縮させ、コンパクト生成性を示す方法は何か？
• RQ4 サブスタックの性質からコンパクト生成性を導く双対理論的枠組みは存在するか？
• RQ5 $P$-適切集合と還元論を用いて、帰納法に適した$\operatorname{Bun}_G$のフィルトレーションを構成できるか？

主な発見

• カテゴリ$\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$はコンパクト生成であり、幾何的表現論における長年の基礎的問題を解決する。
• $\operatorname{Bun}_G$は、コンパクト生成性を保証する共切断性を持つ準密開部分スタックのフィルトレーションを持つ。
• $\operatorname{Bun}_{P^-}$への${\mathbb{A}}^1$-作用による収縮原理により、コンパクト生成性の問題が構造が単純で解析に適した状況に還元可能である。
• $\operatorname{D-mod}(\operatorname{Bun}_G)$の双対は、共切断的部分スタック$U$の$\operatorname{D-mod}(U)$の双対の極限に一致する。
• モノドロミー的カテゴリ$\operatorname{D-mod}({\mathbb{A}}^1)_\mu$は、単位的イデムポテンス代数$\underline{0}_\mu$を備えており、証明における重要な同型を確立するために不可欠である。
• 証明は、$\underline{1}_\mu \in \operatorname{D-mod}({\mathbb{G}}_m)_\mu$が無限大のジョルダン型ブロック$I^{-\infty,0}$であることに依拠しており、これはリーマン＝ヒルベルト対応で保存される。