[論文レビュー] Compact leaves of codimension one holomorphic foliations on projective manifolds

Benoît Claudon, Frank Loray+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、コンpactな葉を持つ、射影多様体上の余次元1の正則foliationを研究し、法 bundle の平坦性の順序を測るUeda理論と、横断的力学を記述するホロノミー表現の相乗的関係に注目する。与えられたコンpactな葉が位相的捩れ（torsion）法 bundle を持つようなグローバル foliation の存在条件を確立し、アーベル的または可解的ホロノミーを持つ foliation に対する因子分解結果を示す。

ABSTRACT

This article studies codimension one foliations on projective man-ifolds having a compact leaf (free of singularities). It explores the interplay between Ueda theory (order of flatness of the normal bundle) and the holo-nomy representation (dynamics of the foliation in the transverse direction). We address in particular the following problems: existence of foliation having as a leaf a given hypersurface with topologically torsion normal bundle, global structure of foliations having a compact leaf whose holonomy is abelian (resp. solvable), and factorization results.

研究の動機と目的

• コンパクトな葉を持つ余次元1の正則foliationが、射影多様体に与える幾何学的および力学的制約を理解すること。
• 位相的捩れ（または平坦）法 bundle を持つコンパクトな葉をもつグローバル foliation の存在を調査すること。
• ホロノミーがアーベル的または可解的であるようなコンパクトな葉をもつ foliation のグローバル構造を分析すること。
• 射影多様体上でのアーベル的または可解的ホロノミーを持つ foliation に対する因子分解定理を確立すること。
• コhomologicalおよびトポロジカルな条件下で、局所的な形式的 foliation の構成をグローバルな正則 foliation に拡張すること。

提案手法

• コンパクトな葉の法 bundle の平坦性の順序を分析するために、Ueda理論を用いる。特に、法 bundle が位相的捩れである場合に注目する。
• 葉の基本群のホロノミー表現を用いて、横断的力学を研究し、foliation の型を分類する。
• 形式的近傍理論と変形理論を用いて、コンパクトな葉の周囲の半局所的設定において形式的 foliation を構成する。
• 付録Aによる横断的構造の拡張技術を用い、コンパクトなKähler多様体上での局所 foliation をグローバルなものに持ち上げる。
• ボット接続や法 bundle 上の平坦接続といった複素幾何学の結果を用い、横断的アフィン的または射影的構造を分析する。
• コhomological障害とラインバンドルの条件（例：L|Y ≅ NY^k を満たす平坦ラインバンドル L の存在）を用い、foliation を定義する有理1次形式の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的捩れ法 bundle を持つ滑らかな超曲面が、それ自身をコンパクトな葉として持つグローバルな正則 foliation を持つための条件は何か？
• RQ2 コンパクトな葉のUeda型がホロノミー表現および foliation のグローバル構造にどのように制約を加えるか？
• RQ3 ホロノミーがアーベル的または可解的である場合、射影多様体上の余次元1 foliation のグローバル構造はどのようになるか？
• RQ4 アーベル的または可解的ホロノミーを持つ foliation が、ファイブレーションまたは横断的アフィン構造を通じて因子分解可能となる条件は何か？
• RQ5 コンパクトな葉の形式的近傍における形式的 foliation をグローバルな正則 foliation に拡張する際に生じる障害は何か？

主な発見

• 任意の Y² = 0 を満たす表面の局所的芽における滑らかな曲線 Y の形式的近傍に、形式的正則 foliation が存在する（定理A）。
• コンパクトなKähler多様体 X 内の滑らかな超曲面 Y が、NY^k が位相的に自明で、utype(Y) ≥ k を満たすならば、L* に値を持つ有理1次形式が存在し、それによって Y を葉とするグローバル foliation が定義される。
• 射影多様体上にコンパクトな葉をもつアーベル的ホロノミーを持つ foliation は、横断的アフィン的であることが示され、やや弱い条件下ではファイブレーションまたはP1-バンドルを通じて因子分解可能である。
• 可解的ホロノミーの場合は、foliation 構造はリッカティ型または楕円的ファイブレーションに制限され、ブルネラの先行結果を一般化する。
• ラインバンドル L と Ueda 型に関するコhomological 条件を通じて、このような foliation の存在に対する完全な障害理論的基準が得られる。
• 結果は、特に一般の点をもつP²の吹き上げや有理表面の文脈において、サド、ブルネラ、ウエダの先行研究を拡張・一般化する。