[論文レビュー] Compact quantum subgroups and left invariant C*-subalgebras of locally compact quantum groups

Pekka Salmi|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コ・アメーブルな局所コンパクトな量子群 𝔾 のコンパクトな量子部分群と、𝒞₀(𝔾) の特定の左不変 C*-部分代数の間の一対一対応を確立し、Lau や Losert の古典的結果を一般化する。さらに、コ・アメーブルな量子群の任意のコンパクトな量子部分群が自身でもコ・アメーブルであることを証明し、この対応を双対化することで、アメーブルな局所コンパクト群の開部分群とその群 C*-代数の不変 C*-部分代数との類似の関係を示す。

ABSTRACT

We show that there is a one-to-one correspondence between compact quantum subgroups of a co-amenable locally compact quantum group $\mathbb{G}$ and certain left invariant C*-subalgebras of $C_0(\mathbb{G})$. We also prove that every compact quantum subgroup of a co-amenable quantum group is co-amenable. Moreover, there is a one-to-one correspondence between open subgroups of an amenable locally compact group $G$ and non-zero, invariant C*-subalgebras of the group C*-algebra $C^*(G)$.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群のコンパクト部分群と 𝒞₀(G) の左不変 C*-部分代数の間の古典的対応を、局所コンパクト量子群の設定に一般化すること。
• コ・アメーブルな量子群 𝔾 のコンパクトな量子部分群と、𝒞₀(𝔾) の特定の左不変 C*-部分代数との間の一対一対応を確立すること。
• コ・アメーブルな量子群の任意のコンパクトな量子部分群が、自身でもコ・アメーブルであることの証明を行い、古典的群論的事実を拡張すること。
• コ・可換かつコ・アメーブルな場合に、この対応を双対化し、アメーブルな局所コンパクト群 G の開部分群と、𝒞*(G) の非ゼロで不変な C*-部分代数との間の一対一対応を示すこと。

提案手法

• Kustermans と Vaes が定義した、局所コンパクト量子群のリダクション型 C*-代数的枠組みを用い、コ乗法 Γ と左/右ハール有界を含む。
• 右平行移動が要素を保存する条件により、群不変関数に類似した方法で左不変 C*-部分代数を定義する。
• 乗法的代数と厳密位相の理論を用いて、非有界乗法的作用素を取り扱い、量子群とその双対との間の双対性を実装する。
• フーリエ＝スティルチェス代数と、X-自明表現を含む表現論的道具を用いて、不変性と双対性を分析する。
• コ・可換な場合に、Pontryagin 双対性フレームワークを用い、𝔾 = Ĝ と特定し、G の部分群と 𝒞*(G) の部分代数との関係を結ぶ。
• Takesaki–Tatsuuma 双対性と Enock の von Neumann 代数的量子群に関する結果を活用し、双対性の議論を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群におけるコンパクト部分群と左不変 C*-部分代数の間の古典的 Lau–Losert 対応の、量子版は存在するか？
• RQ2 アーメーブルな量子群に含まれるコンパクトな量子部分群のコ・アメーブル性は、周囲の量子群のコ・アメーブル性から導けるか？
• RQ3 コ・可換かつコ・アメーブルな状況において、量子群とその双対との間の双対性は、C*-代数的設定でどのように現れるか？
• RQ4 𝒞₀(𝔾) の左不変 C*-部分代数がコンパクトな量子部分群から生じるための条件は何か？
• RQ5 コ・可換かつコ・アメーブルな状況において、G の開部分群と 𝒞*(G) の不変 C*-部分代数との間には一対一対応が存在するか？

主な発見

• コ・アメーブルな局所コンパクト量子群 𝔾 のコンパクトな量子部分群と、𝒞₀(𝔾) の特定の左不変 C*-部分代数との間には一対一対応が存在する。
• コ・アメーブルな量子群の任意のコンパクトな量子部分群は、自身でもコ・アメーブルである。これは、アーメーブル群の正規開部分群による商がアーメーブルであるという古典的事実を一般化する。
• コ・可換かつコ・アメーブルな状況では、双対対応が成立する：アーメーブルな局所コンパクト群 G の開部分群と、𝒞*(G) の非ゼロで不変な C*-部分代数との間には一対一対応がある。
• G の開で正規な部分群 H の C*-代数 𝒞*(H) が対称であるための必要十分条件は、H が正規であることであり、これは annihilator F⊥ が 𝒞*(G) の両側イデアルであることと同値である。
• 𝒞*(H) から誘導されるコンパクトな量子部分群は、商群 G/H の双対と同型であり、(𝔾, π) ≅ ((G/H)̂, ρ) が成り立つ。これはコ・可換な状況における双対性の確認である。
• 定理 18 の (1) ⇒ (2) の証明は、レビュアーが提案した X-自明表現のアプローチにより著しく短縮され、元の証明における微妙な技術的ギャップも解消された。