[論文レビュー] Compact Sets in Bide - Side Grand Lebesgue Spaces, with Applications

E. Ostrovsky, L. Sirota|ArXiv.org|Feb 17, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、双方向グランドルベーグ空間（BSGL）における集合のコンパクト性の十分条件を確立し、$ G^o(\theta) $ の閉有界部分集合が、各 $ p \in (a,b) $ における $ L_p $-空間で等絶対連続かつコンパクトであるときかつそのときに限り、コンパクトであることを証明している。これらの結果は、数値解析手法およびこれらの関数空間における基底理論への応用がなされている。

ABSTRACT

In this article we find some sufficient conditions for the set in the Bilateral Grand Lebesgue Space to be compact set. We consider applications into numerical methods and in the basis problem.

研究の動機と目的

• 双方向グランドルベーグ空間（BSGL）の部分集合がコンパクトであるための十分条件を確立すること。
• $ G^o(\psi) $、区間 $ (a,b) $ の端点でノルムが消える関数の閉部分空間におけるコンパクト集合の構造を調査すること。
• コンパクト性基準を数値解析に応用し、特に対称再配列の反復アルゴリズムの収束に焦点を当てる。
• 基礎測度空間の分離可能性条件の下で $ G^o(\psi) $ にシュードャー基底が存在することを証明すること。
• $ L_p $-空間から BSGL 空間に至る結果の拡張、特に対称再配列および勾配推定に関して。

提案手法

• 正の連続関数 $ \psi \in \Psi(a,b) $ が $ (a,b) $ で定義され、端点で発散する可能性を含め、ノルム $ \|f\|_{G(\psi)} = \sup_{p \in (a,b)} |f|_p / \psi(p) $ を用いて BSGL 空間 $ G(\psi) $ を定義する。
• 関数のノルムが $ \psi(p) \to \infty $ のとき $ |f|_p / \psi(p) \to 0 $ となる関数の集合として、部分空間 $ G^o(\psi) $ を定義し、これは $ GA(\psi) $ および $ GB(\psi) $、すなわち絶対連続ノルム関数および有界かつ緊密な台を持つ関数の空間と一致する。
• 既知の関数解析の基準を用いて、$ G^o(\psi) $ におけるコンパクト性が等絶対連続性およびすべての $ p \in (a,b) $ における $ L_p $-空間でのコンパクト性に同値であることを示す。
• 特にヴァン・シャフタングンの極性化アルゴリズムを用いた、対称（球面）再配列の理論を適用し、$ G(\psi) $-ノルムにおける収束を示す。
• 再配列作用素のノルム保存性および収縮性を証明し、$ \|u^*\|_{G(\psi)} = \|u\|_{G(\psi)} $ および $ \|u^* - v^*\|_{G(\psi)} \leq \|u - v\|_{G(\psi)} $ が成り立つことを示す。
• $ u \in G^o(\psi) $ ならば、極性化アルゴリズムによって生成される列 $ \{u_n\} $ が $ G^o(\psi) $-ノルムで $ u^* $ に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ G^o(\psi) $ の閉有界部分集合が BSGL ノルムでコンパクトであるための条件は何か？
• RQ2 $ G^o(\psi) $ における集合のコンパクト性は、$ p \in (a,b) $ における個別の $ L_p $-空間でのコンパクト性とどのように関係するか？
• RQ3 対称再配列のための極性化アルゴリズムの収束性は、$ L_p $ から BSGL 空間に拡張可能か？
• RQ4 等絶対連続性は、$ G^o(\psi) $ における集合のコンパクト性において果たす役割は何か？
• RQ5 測度空間の分離可能性仮定の下で、空間 $ G^o(\psi) $ はシュードャー基底を有するか？

主な発見

• $ G^o(\psi) $ の閉有界部分集合 $ S $ がコンパクトであるための必要十分条件は、等絶対連続性およびすべての $ p \in (a,b) $ における $ L_p $-空間でのコンパクト性である。
• 対称再配列作用素は $ G(\psi) $-ノルムを保存する：すべての $ \psi \in \Psi(a,b) $ に対して $ \|u^*\|_{G(\psi)} = \|u\|_{G(\psi)} $ が成り立つ。
• 再配列作用素は $ G(\psi) $ で収縮的である：$ \|u^* - v^*\|_{G(\psi)} \leq \|u - v\|_{G(\psi)} $ が成り立つ。
• 任意の $ \nu \ll \psi $、すなわち $ \lim_{\psi(p) \to \infty} \nu(p)/\psi(p) = 0 $ を満たす $ \nu $ に対して、$ u \in G(\psi) $ ならば極性化アルゴリズムは $ G(\nu) $-ノルムで $ u^* $ に収束する。
• $ u \in G^o(\psi) $ ならば、極性化アルゴリズムによって生成される列 $ \{u_n\} $ は $ G^o(\psi) $-ノルムで $ u^* $ に収束する。
• 測度空間が分離可能である限り、$ G^o(\psi) $ はシュードャー基底を有する。例えば、変形されたハール関数からなる基底が存在する。