[論文レビュー] Compactification of the space of Hamiltonian stationary Lagrangian submanifolds with bounded total extrinsic curvature and volume

Jingyi Chen, Micah Warren|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^n$ 内の体積と全外在的曲率（第二基本形式の$L^n$-ノルム）が一様に有界な閉かつ埋め込まれたハミルトニアン定常ラグラジアン部分多様体の列に対して、コンパクト性定理を確立する。これらの制約のもとで、部分列が有限個の特異点を除いて$C^k$位相で局所的に一様に収束し、ハミルトニアン定常ラグラジアン$n$-変体へ収束する。極限は、点であるか、孤立した特異点を持つ埋め込み部分多様体へ台をもつ。特異点集合が小さい場合の変体への拡張結果を用いて、極限が$\mathbb{C}^n$ 内でハミルトニアン定常であることが示される。

ABSTRACT

For a sequence of immersed connected closed Hamiltonian stationary Lagrangian submaniolds in $\mathbb{C}^{n}$ with uniform bounds on their volumes and the total extrinsic curvatures, we prove that a subsequence converges either to a point or to a Hamiltonian stationary Lagrangian $n$-varifold locally uniformly in $C^{k}$ for any nonnegative integer $k$ away from a finite set of points, and the limit is Hamiltonian stationary in ${\mathbb{C}}^{n}$. We also obtain a theorem on extending Hamiltonian stationary Lagrangian submanifolds $L$ across a compact set $N$ of Hausdorff codimension at least 2 that is locally noncollapsing in volumes matching its Hausdorff dimension, provided the mean curvature of $L$ is in $L^{n}$ and a condition on local volume of $L$ near $N$ is satisfied.

研究の動機と目的

• 体積と全外在的曲率に一様な束縛がかかる閉かつ埋め込みられたハミルトニアン定常ラグラジアン部分多様体の列に対して、コンパクト性結果を確立すること。
• このような列が、有限個の特異点を除いて$C^k$位相で局所的に一様に収束し、ハミルトニアン定常ラグラジアン$n$-変体へ収束することを証明すること。
• 孤立した特異点をもつ変体に対してもハミルトニアン定常性の概念を拡張し、極限が$\mathbb{C}^n$ 内でハミルトニアン定常であることを示すこと。
• ハウスドルフ余次元が2以上であるコンパクト集合を介してハミルトニアン定常ラグラジアン部分多様体を拡張する可除去特異点定理を提供すること。ただし、体積と曲率の制御のもとで。

提案手法

• ラグラジアン位相を記述する4階の楕円型方程式から導かれる曲率推定を用い、2階作用素への分解を活用する。
• ラグラジアン平面へのグラフィカル表現の$C^k$収束部分列を抽出するために、Arzelà-Ascoli定理を適用する。
• 反復的二分分割と錐型推定を用いて、一様なグラフィカル性と曲率の有界性を持つ球の有限被覆を構成する。
• 第二基本形式の$L^n$-ノルムを、曲率と体積推定の主要な制御パラメータとして用いる。
• 可除去特異点定理（定理4.1）を応用し、余次元$\geq 2$ でコンパクトな特異点集合$N$ を持つ場合に、$\mathbb{C}^n \setminus N$ でハミルトニアン定常なラグラジアン部分多様体が、局所的体積制御のもとで$\mathbb{C}^n$ 全体でもハミルトニアン定常であることを示す。
• 極限変体が、すべての compactly な台を持つ滑らかな$f$ に対して、$\int_{\mathbb{R}^{2n}} \langle J\nabla f, \mathcal{H} \rangle \, d\mu_L = 0$ を満たすハミルトニアン定常性条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積と全外在的曲率が有界な$\mathbb{C}^n$ 内の閉かつ埋め込みられたハミルトニアン定常ラグラジアン部分多様体の列は、意味的な幾何的意味でコンパクト化可能だろうか？
• RQ2 ハミルトニアン定常ラグラジアン部分多様体は、余次元が2以上のコンパクトな特異点集合を介して、どのような条件下で拡張可能だろうか？
• RQ3 特異点が現れる場合でも、そのような列の極限は$\mathbb{C}^n$ 内で必ずハミルトニアン定常であるだろうか？
• RQ4 このような列の収束は、有限個の点を除いて$C^k$位相で制御可能だろうか？
• RQ5 第二基本形式の$L^n$-ノルムは、列の正則性と収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 体積と全外在的曲率が一様に有界な、$\mathbb{C}^n$ 内の任意の閉かつ埋め込みられたハミルトニアン定常ラグラジアン部分多様体の列に対して、部分列が有限個の特異点を除いて$C^k$位相で局所的に一様に収束する。
• 極限は、孤立した特異点を持つ埋め込み部分多様体へ台をもつ、または単一の点であるハミルトニアン定常ラグラジアン$n$-変体である。
• 極限変体は、一般化された意味で$\mathbb{C}^n$ 内でハミルトニアン定常であり、すべての$f \in C_0^\infty(\mathbb{R}^{2n})$ に対して、$\int_{\mathbb{R}^{2n}} \langle J\nabla f, \mathcal{H} \rangle \, d\mu_L = 0$ を満たす。
• 極限変体の台の閉包は、特異点が存在しても連結である。
• 全列が一点に収縮する場合（正規化または体積制御により除外される）を除き、極限は空でない。
• 拡張結果（定理4.1）により、$N$ がコンパクトで、ハウスドルフ余次元$\geq 2$ であり、局所的体積制御がなされている場合、$\mathbb{C}^n \setminus N$ でハミルトニアン定常なラグラジアン部分多様体は、$\mathbb{C}^n$ 全体でもハミルトニアン定常である。