[論文レビュー] Compactifications of smooth families and of moduli spaces of polarized manifolds

Eckart Viehweg|ArXiv.org|May 3, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト多項式 $h$ を持つ極小化された多様体のモジュライ空間の射影的コンパクト化を構成し、高次の多重 canonical 線分束の行列式を、コンパクト化上でのネフかつ開集合に沿った正の線分束に拡張する。弱安定化還元、乗数イデアルの平坦化、および基底変換の定理を用いて、これらの拡張が引き戻しと整合し、正性を保つことを証明し、Canonical に極小化された多様体または最小 Calabi-Yau 型の多様体の族に対して、自然な正の線分束をコンパクト化されたモジュライ空間上に構成可能であることを示す。

ABSTRACT

Let M be the moduli scheme of canonically polarized manifolds with Hilbert polynomial h. We construct for a given finite set I of natural numbers m>1 with h(m)>0 a projective compactification M' of the reduced scheme underlying M such that the ample invertible sheaf L corresponding to the determinant of the direct image of the m-th power of the relative dualizing sheaf on the moduli stack, has a natural extension L' to M'. A similar result is shown for moduli of polarized minimal models of Kodaira dimension zero. In both cases "natural" means that the pullback of L' to a curve C --> M', induced by a family f:X --> C is isomorphic to the determinant of the direct image of the m-th power of the relative dualizing sheaf whenever f is birational to a semi-stable family. Besides of the weak semistable reduction of Abramovich-Karu and the extension theorem of Gabber there are new tools, hopefully of interest by itself. In particular we will need a theorem on the flattening of multiplier sheaves in families, on their compatibility with pullbacks and on base change for their direct images, twisted by certain semiample sheaves. Following suggestions of a referee, we reorganized the article, we added several comments explaining the main line of the proof, and we changed notations a little bit.

研究の動機と目的

• Canonical に極小化された多様体でヒルベルト多項式が $h$ であるものの、モジュライスキーム $(M_h)_{\rm red}$ の射影的コンパクト化 $\overline{M}_h$ を構成すること。
• 線分束 $\lambda_\nu = \det(f_* \omega_{X_0/Y_0}^\nu)$ を $\operatorname{Pic}(\overline{M}_h)_{\mathbb{Q}}$ 内のネフかつ開集合に沿った正のクラス $\overline{\lambda}_\nu$ に拡張すること。
• 特に曲線上の族に対して、有限被覆および安定モデルに関する引き戻しと整合性を持つように拡張を保証すること。
• Kodaira 次元が 0 である極小化された多様体の族のモジュライへ、同様の手法を一般化すること。

提案手法

• Abramovich-Karu の弱安定化還元定理を用いて、有限被覆による族の特異点を解消する。
• Gabber の拡張定理を適用し、コンパクト化における除数上を越えてもコherent層を拡張する。
• 基底変換および引き戻しに関して、乗数イデアル層の新しい平坦化定理を導入し、直接像関手と整合することを保証する。
• 線分束および乗数イデアルの飽和技術を用いて、族全体にわたる構成の安定化を図る。
• 乗数イデアルのファイバー積および変形との整合性を用いて、コンパクト化における特異点を制御する。
• 特に半正則な捩れ項を含む twisted 層の直接像に関する基底変換定理を適用し、平坦性およびcoherenceを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Canonical に極小化された多様体のモジュライ空間に対して、その射影的コンパクト化を構成できるか。その際、$\nu$ 乗 canonical 線分束の行列式が、コンパクト化上でネフかつ開集合に沿った正のクラスに拡張可能か。
• RQ2 有限被覆および安定モデルに沿った引き戻しと整合するように、$\lambda_\nu$ の拡張をどのように実現できるか。特に曲線上の族に対して。
• RQ3 $\nu \geq 2$ のとき、拡張された線分束 $\overline{\lambda}_\nu$ が開集合に沿って正であるための条件は何か。
• RQ4 同様の構成を、Kodaira 次元が 0 である極小化された多様体の族へ一般化できるか。正性および整合性を保つことができるか。
• RQ5 乗数イデアルおよびその平坦化は、コンパクト化過程における特異点の制御および基底変換との整合性を保つために果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿は、$(M_h)_{\rm red}$ の射影的コンパクト化 $\overline{M}_h$ を構成し、線分束 $\overline{\lambda}_\nu$ が $\operatorname{Pic}(\overline{M}_h)_{\mathbb{Q}}$ 内に自然に拡張されることを示した。
• 拡張 $\overline{\lambda}_\nu$ はネフであることが示され、低次の線分束に正の仮定をおくと、$\nu \geq 2$ のとき開集合に沿って正である。
• 曲線上の族に対して、$\overline{\lambda}_\nu$ を安定モデルに引き戻すと、canonical 線分束の行列式が回復され、整合性が保証される。
• 乗数イデアル層の新しい平坦化定理が確立され、有限被覆における基底変換および引き戻しと整合することが示された。
• 構成は弱安定化還元の変種および乗数イデアルの飽和技術に依存し、コンパクト化における特異点の制御が可能である。
• 主な技術的結果は、適切な捩れを施した後、$\det({\mathcal{F}}_Y^{(\epsilon,1)})$ が開集合に沿って正になることである。これにより、$\nu \geq 2$ のとき $\overline{\lambda}_\nu$ の正性が示される。