[論文レビュー] Minimal models and boundedness of stable varieties

Kalle Karu|ArXiv.org|Apr 8, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 52

ひとこと要約

本稿は、n+1次元における最小モデルプログラムを仮定することで、正則でない、安定的かつ滑らかにできるn重の、半対数 canonical 特異点と、豊富な canonical バンドルをもつ多様体のモジュライ関手の有界性を確立する。弱い半安定化とMMP(n+1)による相対 canonical モデルの適用により、このような多様体のプロジェクト型粗モジュライ空間の存在を証明し、Matsusakaの有界性定理を特異な安定多様体へ一般化する。

ABSTRACT

We consider a class of stable smoothable n-dimensional varieties, the analogs of stable curves. Assuming the minimal model program in dimension n+1, we prove that this class is bounded. From Kollar's method of constructing projective moduli spaces we get as a corollary that minimal model program in dimension n+1 implies the existence of a projective coarse moduli space for stable smoothable n-folds.

研究の動機と目的

• 固定された Hilbert 関数をもつ、安定的かつ滑らかにできるn重の、半対数 canonical 特異点と、豊富な canonical バンドルをもつモジュライ関手の有界性を確立すること。
• 豊富な canonical バンドルをもつ滑らかな多様体に対する Matsusaka の有界性結果を、特異な安定的ケースへ拡張すること。
• n+1次元における最小モデルプログラムを仮定することで、モジュライ関手がプロジェクト型スキームによって粗く表現可能であることを示すこと。
• Alexeev の表面に対する有界性結果を、高次元の安定的多様体へ一般化すること。
• 安定的ペア (X, D) に対して、対数 canonical 特異点と豊富な K_X + D をもつ場合、log-MMP(n+1)の下で、この方法を適応すること。

提案手法

• 有理的で Gorenstein 特異点と豊富な canonical バンドルをもつ正規多様体をパラメータ化する、コンパクト化された Hilbert 標準族上に普遍族を構成する。
• 普遍族に弱い半安定化を適用し、半対数 canonical 特異点と良好な退化性を持つ族を得る。
• n+1次元における最小モデルプログラム（MMP(n+1)）を用いて、弱い半安定族の相対 canonical モデルを構成する。
• Siu–Kawamata の定理による高次元の多様体の多様体の有界性を用いて、相対 canonical 環が基底上に有限生成であることを証明する。
• 得られた族が、与えられた Hilbert 関数をもつすべての安定的かつ滑らかにできるn重をパラメータ化することを確立する。
• log canonical 特異点と log-MMP(n+1) を考える安定的ペア (Y₀, D₀) に対して、この方法を適応する。この際、高次元の多様体の有界性と半正定性の仮定を仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n+1次元における最小モデルプログラムを仮定する下で、固定された Hilbert 関数 H をもつ、安定的かつ滑らかにできるn重の、半対数 canonical 特異点と、豊富な canonical バンドルをもつモジュライ関手 M_H^sm は有界であるか？
• RQ2 このようなn重の粗モジュライ空間の構成は、MMP(n+1)による族の有界性に還元可能か？
• RQ3 対数 canonical 特異点と豊富な K_Y₀ + D₀ をもつ安定的ペア (Y₀, D₀) の有界性は、log-MMP(n+1) と高次元の多様体の有界性にどのように依存するか？
• RQ4 半正定性と高次元の多様体の有界性の仮定は、高次元の MMP の仮定にどの程度置き換え可能か？
• RQ5 モジュライ関手が局所的に閉じていて、分離的かつ完全的であるため、有界性からプロジェクト型粗モジュライ空間の存在が導かれるか？

主な発見

• n+1次元における最小モデルプログラムを仮定すると、固定された Hilbert 関数 H をもつ、安定的かつ滑らかにできるn重のモジュライ関手 M_H^sm は有界である。
• 有界性は、M_H^sm がプロジェクト型粗モジュライ空間として存在することを示唆する。
• 弱い半安定族の相対 canonical 環は、高次元の多様体の有界性と MMP(n+1) の下で、基底上に有限生成な代数の層である。
• プロジェクト型基底 B 上の構成された族のファイバーは、与えられた Hilbert 関数 H をもつすべての安定的かつ滑らかにできるn重を含む。
• 証明は、Alexeev の半対数 canonical 表面に対する有界性結果を、高次元のn重へ簡素化し一般化する。
• log-MMP(n+1) と高次元の多様体の有界性が成り立つ限り、この方法は対数 canonical 特異点と豊富な K_Y₀ + D₀ をもつ安定的ペア (Y₀, D₀) に対しても適応可能である。