[論文レビュー] Compactifying the Space of Length Functions of a Right-angled Artin Group

Anna Vijayan|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、右側アーティン群（RAAG）の最小作用について、定義グラフが連結で三角形を含まない2次元CAT(0)長方形複体上での射影化された移動長関数の空間が、射影無限次元空間においてコンパクトな閉包を持つことを確立する。CharneyとMargolisの結果（このような作用は長関数によって一意に決定されること）を基盤とし、正規化された長関数の一様有界性を証明することで、有限次元射影を介してコンパクト部分集合へ埋め込む。これは、自由群のOuter SpaceのCullerとMorganによるコンパクト化を、RAAGへ一般化するものである。

ABSTRACT

Culler and Morgan proved that the length function of a minimal action of a group on a tree completely determines the action. As a consequence the space of minimal actions of a free group on trees, up to scaling (also known as Outer Space), embeds in infinite projective space via the map sending an action to its projectivized length function. They also proved that the image of this map has compact closure. For a right-angled Artin group whose defining graph is connected and triangle-free, we investigate the space of minimal actions on 2-dimensional CAT(0) rectangle complexes. Charney and Margolis showed that such actions are completely determined by their length functions; hence this space embeds in infinite projective space. Here it is shown that the image of the embedding map, that is, the set of projectivized length functions associated to these actions, has compact closure.

研究の動機と目的

• 自由群のOuter SpaceのCullerとMorganによるコンパクト化を、CAT(0)長方形複体上に作用する右側アーティン群（RAAG）へ拡張すること。
• 2次元CAT(0)長方形複体上での最小RAAG作用に関する射影化された移動長関数の空間が、射影空間にコンパクトに埋め込まれることを確立すること。
• 定義グラフが連結で三角形を含まない条件の下で、自由群からRAAGへ長関数のアプローチを一般化すること。
• このコンパクト化空間の境界の構造を調査し、測度付きウォール空間などの一般化された距離空間への退化した作用に対応すると予想すること。

提案手法

• 有限生成集合に含まれる固定された要素の最大移動距離から得られる一様有界性を用いて、移動長関数を正規化する。
• 群の要素のノルムと固定定数Cに関する長関数の境界を用いて、R^Ω∖{0}内にコンパクト集合Kを定義する。
• 固定生成集合Dに現れる共役類の有限集合を用いて、長関数の台を制限する。
• 正規化された長関数を射影空間P^Ωに射影し、その像がKの射影像であるコンパクト集合に含まれることを示す。
• 定義グラフが次元2の均一的性質を持つことを利用して、2次元CAT(0)長方形複体上での最小作用を保証する。
• 特に長方形複体内の辺路と距離に関する技法を用い、幾何的群論の技術を応用して、長関数の振る舞いを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元CAT(0)長方形複体上での最小RAAG作用に関する射影化された移動長関数の空間は、P^∞においてコンパクトな閉包を持つか？
• RQ2 自由群の場合と同様に、長関数がRAAGの作用を一意に決定できるか？
• RQ3 コンパクト化の境界点の幾何的性質は何か？また、木への作用の一般化としてどのように解釈できるか？
• RQ4 測度付きウォール空間への退化した作用は、CAT(0)長方形複体上での最小作用の極限として生じるか？
• RQ5 2次元の場合に用いられた技法は、n次元CAT(0)長方形複体上での高次元RAAG作用へ拡張可能か？

主な発見

• RAAGの2次元CAT(0)長方形複体上での最小作用に関する射影化された移動長関数の集合は、P^Ωのコンパクト部分集合に含まれる。
• 任意の最小作用αに対して、ある一様定数Cが存在し、A_Γのすべてのgに対してl^α(g) ≤ C M^α ||g||が成り立つ。
• M^αによる正規化後、長関数l'^αは、すべてのgに対してl'^α(g) ≤ ||g||であり、またあるd*∈D（有限生成集合）に対してl'^α(d*) ≥ 1/Cを満たす。
• 正規化された長関数の像は、R^Ω∖{0}内のコンパクト集合Kに含まれており、そのP^Ωへの射影もコンパクトである。
• このコンパクト性の結果は、三角形を含まない連結な定義グラフを持つRAAGに対して、自由群のCullerとMorganの定理を一般化する。
• コンパクト化空間の境界は、自由群の場合のR-木に類似した測度付きウォール空間への非常に小さな作用から成るものと予想される。