[論文レビュー] Compactifying the space of stable maps

Dan Abramovich, Angelo Vistoli|ArXiv.org|Aug 30, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、分岐した曲線から分岐的でないデリーニ＝ムーディー・スタックへのねじれ安定写像を導入し、スタックへの安定写像のモジュライ空間におけるコンパクト化のギャップを解消する。ノードにおいて根スタックを用いてソース曲線に分岐空間構造を導入することにより、著者らは、適切な条件下で、固有な代数的スタック $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M},d)$ を構成し、安定写像の空間をコンパクト化する。このスタックは、固有なデリーニ＝ムーディー・スタックであり、射影的であることを示している。

ABSTRACT

We define two equivalent notions of twisted stable map from a curve to a Deligne-Mumford stack with projective moduli space, and we prove that twisted stable maps of fixed degree form a complete Deligne-Mumford stack with projective moduli space.

研究の動機と目的

• デリーニ＝ムーディー・スタックへの安定写像のモジュライ空間におけるコンパクト性の欠落を解消すること、特にソース曲線が分岐する場合に焦点を当てる。
• スタックへの写像の文脈に、コンテスヴィッチの安定写像のモジュライを一般化すること、特にスタックがスキームでない場合に焦点を当てる。
• ノードで分岐空間構造を獲得する新しいタイプの写像—ねじれ安定写像—を定義し、コンパクト化を可能にする。
• 分岐的でないデリーニ＝ムーディー・スタックで、射影的であるという仮定のもとで、ねじれ安定写像のスタックが固有なデリーニ＝ムーディー・スタックであり、射影的であることを示す。
• 粗いモジュライ空間の写像が拡張できない場合でさえ、極限写像を含むコンパクト化の存在を確立すること。

提案手法

• ノードにおける根スタックを用いて、$\mu_m$-作用を用いて特異性を解消することで、デリーニ＝ムーディー・スタックとしてのねじれ曲線を導入する。
• アブヤンカルの補題と純度の補題を用いて、基底変換の後に、曲線の滑らか部分からスタック $\mathcal{M}$ への写像を拡張する。
• ねじれ安定写像を、ねじれ曲線 $\mathcal{C} \to \mathcal{M}$ への写像として定義し、古典的安定写像と類似した安定性条件を満たす。
• スキーム上のファイバードカテゴリとして、アトラスと分岐空間チャートを用いて、モジュライスタック $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M},d)$ を構成する。
• グロテンディークの存在定理を用いて、分岐的スタックに対して、弱値的評価の基準と有界性を満たすことで、スタックが代数的スタックであることを証明する。
• 形式的完成と降下の技法を用いて、分岐的スタックの形式的完成上の連接層が代数化可能であることを示し、固有性の保証を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ古典的な安定写像の概念は、$\mathcal{B}G$ のようなデリーニ＝ムーディー・スタックへの写像ではコンパクト化に失敗するのか？
• RQ2 粗いモジュライ写像は拡張できるが、スタックへの写像は拡張できない場合、曲線の一般ファイバーからスタックへの安定写像をどのように拡張できるか？
• RQ3 ソース曲線にどのような幾何的構造が備わっていると、特異極限におけるスタックへの写像の拡張が可能になるか？
• RQ4 分岐的でないデリーニ＝ムーディー・スタックで、射影的であるという仮定のもとで、ねじれ安定写像のモジュライスタックは、固有なデリーニ＝ムーディー・スタックであるか？
• RQ5 分岐的スタックの完成上の形式的連接層は、代数化可能か？その結果、コンパクト化の存在が保証されるか？

主な発見

• スタック $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M},d)$ が、$\mathcal{M}$ が分岐的でないデリーニ＝ムーディー・スタックで、粗いモジュライ空間が射影的であるとき、固有なデリーニ＝ムーディー・スタックである。
• このスタックは、射影的である粗いモジュライ空間 $\mathbf{K}_{g,n}(\mathcal{M},d)$ を持つ。これは、コンテスヴィッチの構成をスタックへ一般化したものである。
• ねじれ安定写像は、$\mathcal{B}G$ の場合におけるコンパクト化の失敗を解消する：$G = (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^4$ のとき、粗いモジュライ写像が失敗しても、安定写像はねじれ曲線に拡張可能である。
• この構成は、ノードにおけるソース曲線に分岐空間構造を導入するために根スタックを用いる。これにより、純度と降下を用いて写像の拡張が可能になる。
• グロテンディークの存在定理により、分岐的スタックの完成上の形式的連接層は代数化可能であり、これが固有性の証明に不可欠である。
• カテゴリ $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M},d)$ は弱値的評価の基準と有界性を満たしており、代数的スタックであることが確認される。