[論文レビュー] Compactly supported cohomology and nearby cycle cohomology of open Shimura varieties of PEL type

Naoki Imai, Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、$p$ における整数モデルが悪い還元を持つ場合でさえも、PEL型の非コン pact なシュミラ多様体について、コンパクト台付き $\ell$-進コホモロジーと近接サイクルコホモロジーの $G(\mathbb{Q}_p)$-カスピダル部分が一致することを確立する。主な結果は、これらのコホモロジー群の間の差異がすべて $p$ で非カスピダルであることを示しており、これにより超カスピダル自動形式に付随するガロア表現を研究するため、近接サイクルコホモロジーを用いることが可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we compare two cohomology groups associated to Shimura varieties of PEL type, which are not proper over the base. One is the compactly supported l-adic cohomology, and the other is the nearby cycle cohomology, namely, the compactly supported cohomology of the nearby cycle complex for the canonical integral model of the Shimura variety over Z_p. We prove that the G(Q_p)-cuspidal part of these cohomology groups are the same, where G denotes the reductive algebraic group naturally attached to the PEL datum. Some applications to unitary Shimura varieties are also given.

研究の動機と目的

• 非コン pact な PEL 型シュミラ多様体について、コンパクト台付き $\ell$-進コホモロジーと近接サイクルコホモロジーを比較すること。
• 整数モデルが $p$ で悪い還元を持つ場合のコホモロジー上のガロア作用を理解すること。
• コホモロジーの $G(\mathbb{Q}_p)$-カスピダル部分が近接サイクル構成によって保存されることを確立すること。
• 非コン pact な場合における局所 Langlands 対応を研究するため、近接サイクルコホモロジーを用いる手法を拡張すること。
• ユニタリシュミラ多様体および torsion 系数系への応用を提供すること。

提案手法

• 近接サイクル関手を用いて、$\mathbb{Z}_p$ 上の整数モデルの一般化ファイバーと特異ファイバーのコホモロジーを関連付ける。
• 両者のコホモロジーの間の自然な写像を通じて、コンパクト台付きコホモロジーと近接サイクルコホモロジーの $G(\mathbb{Q}_p)$-型成分を比較する。
• Hochschild-Serre のスペクトル系列を用いて、特異ファイバーのコホモロジーを自動形式表現の観点から分析する。
• Mantovan の公式と局所モデルの理論を用いて、コホモロジーを $J(\mathbb{Q}_p) = D^\times \times \mathbb{Q}_p^\times$ の表現と関連付ける。
• 局所モデルのコホモロジーにおける超カスピダル成分が $n-1$ 以外の次数で消えることを利用して、コホモロジーの超カスピダル部を分析する。
• Dat と Shin の技術を用いて、$\ell$ を法とする係数系へと結果を拡張し、特に非中間次数における超カスピダル部の投射性と消える性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近接サイクルコホモロジーは、一般化ファイバーのコンパクト台付きコホモロジーと同一の $G(\mathbb{Q}_p)$-カスピダル表現を捉えているか？
• RQ2 シュミラ多様体が $p$ で悪い還元を持つ場合、コホモロジー上のガロア作用はどのように振る舞うか？
• RQ3 近接サイクルコホモロジーは、非コン pact なシュミラ多様体に対する局所 Langlands 対応を研究するのに用いることができるか？
• RQ4 特異ファイバーは、コホモロジーにおける $G(\mathbb{Q}_p)$-表現型をどのように制御しているか？
• RQ5 torsion 系数系の場合、コホモロジーの超カスピダル部は $n-1$ 以外の次数で消えるか？

主な発見

• コンパクト台付きコホモロジーと近接サイクルコホモロジーの $G(\mathbb{Q}_p)$-カスピダル部分は、同型である。
• 両コホモロジー群の間の自然な写像の核および余核には、$G(\mathbb{Q}_p)$ の非可約超カスピダル表現が含まれない。
• $G(\mathbb{A}^\infty)$ の非可約適切表現 $\Pi$ で $\Pi_p$ が超カスピダルであるものについて、両コホモロジー群の $\Pi$-型成分は、$\operatorname{Gal}(\overline{E}_v/E_v)$-加群として同型である。
• torsion 系数系の場合、任意の非可約超カスピダル $\overline{\mathbb{F}}_\ell$-表現 $\pi$ に対して、$H^i_c(\operatorname{Sh}_{K^p}, \overline{\mathbb{F}}_\ell)[\pi] = 0$ となるのは $i = n-1$ のみである。
• 特異ファイバーのコホモロジーの超カスピダル部は、$n-1$ 以外の次数で消える。これは、$H^i_c(\mathcal{M}_{\mathrm{LT},\infty}, \overline{\mathbb{F}}_\ell)$ の $i \neq n-1$ における超カスピダル成分の消えることによる。
• 近接サイクルコホモロジーは、悪い還元が存在する場合でさえも、超カスピダル自動形式に付随する正しいガロア表現を捉えている。