[論文レビュー] Compactness of Kahler-Ricci solitons on Fano manifolds

Bin Guo, D. H. Phong+2 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Fano多様体上のKähler-Ricciソリトンの列が、Futaki不変量に一様な有界性を要しない場合でも、Gromov-Hausdorffコンパクト性を有することを確立する。Birkarの双有理幾何的結果とPerelmanの$\mu$-汎関数を活用することで、任意のこのような列が、対数終票特異点をもつ$\mathbb{Q}$-Fano多様体に収束し、Kähler-Ricciソリトン計量と拡張された正則ベクトル場を備えることを証明する。

ABSTRACT

In this short paper, we improve the result of Phong-Song-Sturm on degeneration of Fano Kähler-Ricci solitons by removing the assumption on the uniform bound of the Futaki invariant. Let $\mathcal{KR}(n)$ be the space of Kähler-Ricci solitons on $n$-dimensional Fano manifolds. We show that after passing to a subsequence, any sequence in $\mathcal{KR}(n)$ converge in the Gromov-Hausdorff topology to a Kähler-Ricci soliton on an $n$-dimensional $\mathbb{Q}$-Fano variety with log terminal singularities.

研究の動機と目的

• 固定された複素次元$n \geq 2$のFano多様体上のKähler-Ricciソリトンの空間$\mathcal{KR}(n)$がGromov-Hausdorff位相においてコンパクトであることを確立すること。
• 従来のKähler-Ricciソリトンのコンパクト性結果において要請されていたFutaki不変量の均一的有界性仮定を排除すること。
• 任意の$\mathcal{KR}(n)$内の列のGromov-Hausdorff極限が、対数終票特異点をもつ$\mathbb{Q}$-Fano多様体であり、適切に定義されたKähler-Ricciソリトン構造を持つことの証明。
• すべてのKähler-Ricciソリトンに対して、スカラー曲率、直径、Futaki不変量について、特定の多様体に依存しない一様な上限を導出すること。

提案手法

• Birkarの最近の双有理幾何的結果を用いて、任意の$n$次元Fano多様体のリッチ曲率に対して一様な下界$\epsilon(n) > 0$を確立する。
• リッチ曲率の一様下界を応用し、$\mathcal{KR}(n)$内のすべてのKähler-Ricciソリトンに対して、Perelmanの$\mu$-汎関数の一様下界を導出する。
• 一様な$\mu$-汎関数の下界を活用して、一様な$C^0$-推定を導出し、$\mathcal{KR}(n)$内の列のGromov-Hausdorff収束を可能にする。
• Bakry-Émeryリッチ曲率のCheeger-Colding理論とPerelmanの擬局所定理を用いて、極限空間の正則部における局所的滑らかな収束を確立する。
• 文献[23]の主要定理と非崩壊推定を適用し、極限計量空間がコンパクトまたは特異点が制御された完備空間であることを保証する。
• Kähler-Ricciソリトン計量と正則ベクトル場が、特異点集合を含む極限空間全体に連続に拡張可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Futaki不変量の均一的有界性を仮定しないで、Fano多様体上のKähler-RicciソリトンのGromov-Hausdorffコンパクト性を確立できるか？
• RQ2 $n$次元Fano多様体上のKähler-Ricciソリトンの列の極限は、必然的に対数終票特異点をもつ$\mathbb{Q}$-Fano多様体上のKähler-Ricciソリトン構造を有するか？
• RQ3 すべてのKähler-Ricciソリトンに対して、スカラー曲率、直径、Futaki不変量について、$\mathcal{KR}(n)$内で一様な上限を導出できるか？
• RQ4 すべての$n$次元Fano多様体上のKähler-Ricciソリトンに対して、Perelmanの$\mu$-汎関数は一様に下から有界か？
• RQ5 このような列のGromov-Hausdorff極限の特異点集合のハウスドルフ次元は、$2n-4$以下であるか？

主な発見

• 任意の$\mathcal{KR}(n)$内の列は、ハウスドルフ次元が$2n-4$以下である特異点集合$\Sigma_\infty$をもつ、コンパクトな計量長距離空間$(X_\infty, d_\infty)$にGromov-Hausdorff位相で収束する。
• 極限空間$(X_\infty, d_\infty)$は、正則部$(X_\infty \setminus \Sigma_\infty, g_\infty)$の計量完備化と等長であり、$Ric(g_\infty) = g_\infty + L_{\mathcal{V}_\infty}g_\infty$を満たすKähler-Ricciソリトン構造を持つ。
• Kähler計量$g_\infty$は、有界な局所ポテンシャルを持つ$\mathbb{Q}$-Fano多様体$X_\infty$全体にKählerカレントとして拡張可能であり、ベクトル場$\mathcal{V}_\infty$はグローバルな正則ベクトル場に拡張可能である。
• すべての$(X,g,u) \in \mathcal{KR}(n)$に対して、$F(n), D(n), K(n) > 0$が存在し、Futaki不変量は$\mathcal{F}_X \leq F(n)$、直径は$D(n)$で有界、スカラー曲率は$0 < R \leq K(n)$を満たす。
• Birkarの結果による一様なリッチ曲率下界のおかげで、$\mathcal{KR}(n)$内の任意のKähler-Ricciソリトンの$\mu$-汎関数は、$n$にのみ依存する定数によって一様に下から有界である。
• コンパクト性結果は、$\mu$-汎関数の一様下界が保証される限り、完全または閉じた勾配収縮リッチソリトンへと拡張可能であり、同様に収束性および特異点集合の次元上限が成り立つ。