[論文レビュー] Comparing operadic theories of $n$-category

Eugenia Cheng|ArXiv.org|Sep 11, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、任意の反復的・操作的パrameter化理論（Trimble型）が、その代数が元の理論の $n$-圏に正確に一致する単一の可縮なグローブラ操作から系として得られることを示すことによって、$n$-圏の操作的理論を比較する一般枠組みを確立する。主な結果は、反復的構成におけるすべてのパrameter化操作が可縮であるときかつそのときに限り、得られるグローブラ操作が可縮であるということであり、これによりTrimbleの反復的操作的アプローチとBataninの非反復的グローブラ操作枠組みが統合される。

ABSTRACT

We give a framework for comparing on the one hand theories of n-categories that are weakly enriched operadically, and on the other hand n-categories given as algebras for a contractible globular operad. Examples of the former are the definition by Trimble and variants (Cheng-Gurski) and examples of the latter are the definition by Batanin and variants (Leinster). We will show how to take a theory of n-categories of the former kind and produce a globular operad whose algebras are the n-categories we started with. We first provide a generalisation of Trimble's original theory that allows for the use of other parametrising operads in a very general way, via the notion of categories weakly enriched in V where the weakness is parametrised by an operad P in the category V. We define weak n-categories by iterating the weak enrichment construction using a series of parametrising operads P_i. We then show how to construct from such a theory an n-dimensional globular operad for each $n \geq 0$ whose algebras are precisely the n-categories we constructed by iterated weak enrichment, and we show that the resulting globular operad is contractible precisely when the operads P_i are contractible. We then show how the globular operad associated with Trimble's topological definition is related to the globular operad used by Batanin to define fundamental n-groupoids of spaces.

研究の動機と目的

• 反復的操作的アプローチ（Trimble型）とグローブラ操作手法（Batanin型）の間の、$n$-圏の操作的理論を比較する一般枠組みを構築すること。
• 各反復段階で任意のパrameter化操作を許容することで、Trimbleの元来の定義を一般化し、滑らかまたは位相的バージョンを含む広範な応用を可能にすること。
• 操作の列から、反復的弱増強によって定義された弱 $n$-圏の代数が正確に一致する単一の $n$-次元グローブラ操作を構成すること。
• 得られるグローブラ操作が、反復的構成におけるすべてのパrameter化操作が可縮であるときかつそのときに限り可縮であることを証明すること。
• 古典的操作理論と高次圏論の間の橋渡しをすることにより、$n$-圏における合成と整合性の完全な構造が、古典的操作の列から導かれる単一の可縮なグローブラ操作に符号化できることを示すこと。

提案手法

• 弱増強の一般化として、$\mathcal{V}$-操作 $P$ によって弱さをパラメータ化する $(\mathcal{V}, P)$-圏の概念を導入し、柔軟な反復的構成を可能にする。
• 各レベルの合成をパラメータ化する操作の列 $P_i$ を用いて、反復的弱増強による弱 $n$-圏を定義する。
• 再帰的公式 $Q^{(n)}_{\alpha} = P_{n-1}(k)_{m-1} \times Q^{(n-1)}_{\alpha_1} \times \cdots \times Q^{(n-1)}_{\alpha_k}$ を用いて、列 $P_0, \dots, P_{n-1}$ からグローブラ操作 $Q^{(n)}$ を構成し、レベル $n$ のすべてのパスタ図を符号化する。
• 懸垂とディスクの再パラメータ化を用いて、$n$ についての帰納法により、$K^{(n)}$（Bataninのグローブラ操作）への連続的かつ境界を保存する操作準同型 $\theta: Q^{(n)} \to K^{(n)}$ を定義する。
• 操作 $\theta$ の帰納的構成を用いて、$Q^{(n)}$ の像が $K^{(n)}$ の部分操作であることを示し、連続性と操作構造との整合性により $\theta$ が操作準同型であることを証明する。
• 得られるグローブラ操作 $Q^{(n)}$ が、反復的構成におけるすべてのパrameter化操作 $P_i$ が可縮であるときかつそのときに限り可縮であることを証明し、入力のホモトピー的性質と出力の性質との間の明確な対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Trimbleの反復的操作的 $n$-圏定義を、各反復段階で任意のパラメータ化操作を許容するように一般化することは可能か？
• RQ2 古典的操作の列から、反復的弱増強によって定義された $n$-圏の代数が正確に一致する単一のグローブラ操作を構成できるか？
• RQ3 得られるグローブラ操作が可縮である条件は何か？ そして、これは反復的構成におけるパラメータ化操作の可縮性とどのように関係するか？
• RQ4 操作準同型 $\theta: Q^{(n)} \to K^{(n)}$ は、Trimble理論における再パラメータ化とBataninのグローブラ操作におけるそれらをどのように関連付けるか？
• RQ5 Trimble理論における再パラメータ化は、Bataninの操作の部分操作としてどの程度対応するか？ そして、これは $n$-圏のホモトピー的構造にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、操作の列 $P_0, \dots, P_{n-1}$ から、反復的弱増強によって定義された弱 $n$-圏の代数が正確に一致するグローブラ操作 $Q^{(n)}$ を構成する。
• 操作準同型 $\theta: Q^{(n)} \to K^{(n)}$ が適切に定義され、連続的かつ境界を保存する操作準同型であることが示され、Trimble型の構造がBataninのグローブラ操作枠組みに埋め込まれる。
• 得られるグローブラ操作 $Q^{(n)}$ が、反復的構成におけるすべてのパラメータ化操作 $P_i$ が可縮であるときかつそのときに限り可縮であることが証明され、入力と出力の間の明確なホモトピー的対応が確立される。
• Leinsterの命題10.1.9を、Trimbleの元来の定義から、操作的パラメータ化 $n$-圏理論の広いクラスへと拡張することで一般化する。
• Trimble理論における再パラメータ化が、1次元再パラメータ化の繰り返しによる懸垂から生じるため、Bataninの操作におけるそれらの一部にしかならないことが示され、特定の病理的写像は除外される。
• この枠組みにより、特にcobordismの $n$-圏のような文脈において、古典的操作理論（特に位相的・ホモトピー的技法）を $n$-圏の研究に応用することが可能になる。