[論文レビュー] Comparison analysis on two numerical methods for fractional diffusion problems based on rational approximations of $t^{\gamma}, \ 0 \le t \le 1$

Stanislav Harizanov, Raytcho Lazarov+3 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、対称正定値行列の分数乗を含む分数拡散問題を解くための3つの数値的手法を導入し、比較している：BURA法（$t^{1-eta}$ の有理近似に基づく）、新規のR-BURA法（$t^{eta}$ の有理近似に基づく）、およびBonitoとPasciakによる指数的収束性を示す積分法。主な貢献は、$\beta$ が1に近い場合にはR-BURAがBURAを著しく上回ることを示し、$\beta$ が0に近い場合にはBURAが優れていることから、異なる分数階数において精度と効率の補完的特性を明らかにしたことである。

ABSTRACT

We discuss, study, and compare experimentally three methods for solving the system of algebraic equations $\mathbb{A}^\alpha \bf{u}=\bf{f}$, $0< \alpha <1$, where $\mathbb{A}$ is a symmetric and positive definite matrix obtained from finite difference or finite element approximations of second order elliptic problems in $\mathbb{R}^d$, $d=1,2,3$. The first method, introduced by Harizanov et.al, based on the best uniform rational approximation (BURA) $r_\alpha(t)$ of $t^{1-\alpha}$ for $0 \le t \le 1$, is used to get the rational approximation of $t^{-\alpha}$ in the form $t^{-1}r_\alpha(t)$. Here we develop another method, denoted by R-BURA, that is based on the best rational approximation $r_{1-\alpha}(t)$ of $t^\alpha$ on the interval $[0,1]$ and approximates $t^{-\alpha}$ via $r^{-1}_{1-\alpha}(t)$. The third method, introduced and studied by Bonito and Pasciak, is based on an exponentially convergent quadrature scheme for the Dundord-Taylor integral representation of the fractional powers of elliptic operators. All three methods reduce the solution of the system $\mathbb{A}^\alpha \bf{u}=\bf{f}$ to solving a number of equations of the type $(\mathbb{A} +c\mathbb{I})\bf{u}= \bf{f}$, $c \ge 0$. Comprehensive numerical experiments on model problems with $\mathbb A$ obtained by approximation of elliptic equations in one and two spatial dimensions are used to compare the efficiency of these three algorithms depending on the fractional power $\alpha$. The presented results prove the concept of the new R-BURA method, which performs well for $\alpha$ close to $1$ in contrast to BURA, which performs well for $\alpha $ close to $0$. As a result, we show theoretically and experimentally, that they have mutually complementary advantages.

研究の動機と目的

• 有限差分または有限要素法による楕円型偏微分方程式の離散化から得られる対称正定値行列 $A$ に対して $A^{\alpha} u = f$ を解くための3つの数値的手法の効率性と精度を比較すること。
• 関数 $t^{1-\alpha}$ に対する最良一様有理近似（BURA）法の性能を分析し、$t^{\alpha}$ を近似することに着目した新規手法R-BURAを提案すること。
• BonitoとPasciakによる指数的収束性を示す積分法と比較して、新規R-BURA法の収束速度、精度、計算コストの観点から評価すること。
• BURAとR-BURAが互いに補完的であることを実証すること：$\alpha \to 0$ の場合にはBURAが最も効果的であり、$\alpha \to 1$ の場合にはR-BURAが優れている。両手法とも固定メッシュサイズ $h$ に対して指数的収束を示す。

提案手法

• BURA法は、区間 $[0,1]$ 上で $t^{1-\alpha}$ の最良有理近似 $r_\alpha(t)$ を用い、$t^{-\alpha}$ の有理近似を $t^{-1} r_\alpha(t)$ として構築し、$A^{\alpha} u = f$ を複数のシフト付き線形系 $(A + cI)u = f$ の解法に還元する。
• 新規のR-BURA法は、区間 $[0,1]$ 上で $t^{\alpha}$ の最良有理近似 $r_{1-\alpha}(t)$ を用い、$t^{-\alpha}$ を $r_{1-\alpha}^{-1}(t)$ によって近似することで、代替的な有理近似戦略を提供する。
• BonitoとPasciakによる積分法は、$A^{\alpha}$ の積分表現に指数的収束性を示すSinc積分法を用い、同様にシフト付き線形系に還元する。
• 3つの手法すべてが、$c \geq 0$ を満たす形で $(A + cI)u = f$ の形の線形系の系列に $A^{\alpha} u = f$ を還元し、反復解法による効率的解法を可能にする。
• これらの手法は、2次元のポアソン型問題に対して、チェッカーボード型およびコサイン型の右辺を用いて、均等な有限差分法および有限要素法による離散化を用いて実装・検証された。
• 数値実験は、変化するメッシュサイズ $h$ および分数階数 $\alpha \in (0,1)$ に対して実施され、$\ell^2$ および $\ell^\infty$ の誤差を測定して、精度と計算コストを比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新規のR-BURA法は、既存のBURA法および積分法と比較して、分数拡散問題を解く上での精度と効率性においてどのように異なるか？
• RQ2 BURA法が $\alpha$ が0に近い場合に最も正確であるのに対し、R-BURA法は $\alpha$ が1に近い場合に優れた性能を示すかどうか？
• RQ3 与えられた精度に到達するための計算コスト（特に解く必要のあるシフト付き線形系の数）は、3つの手法でどのように異なるか？
• RQ4 固定 $h$ に対して、BURAおよびR-BURAの収束速度は有理近似の次数にどのように依存するか？ また、積分法の指数的収束性と比較するとどうなるか？
• RQ5 BURAとR-BURAの補完的特性を活かして、$\alpha \in (0,1)$ 全体にわたる範囲でより高い全体的効率性を実現するハイブリッド手法を設計できるか？

主な発見

• $\alpha = 0.25$ の場合、(9,9)-BURA法は10個の線形系を解く必要があるが、$f_1$ に対しては37-Q法（37個の線形系）、$f_2$ に対しては39個の線形系を必要とするため、同等の精度を得るためにより高い計算コストを要する。
• $\alpha = 0.5$ の場合、$k$-Q法は(7,7)-BURAを上回るには $k=16$、(8,7)-R-BURAを上回るには $k=16$、(8,8)-R-BURAを上回るには $k=20$ 必要である。これは、積分法がR-BURAの精度に追いつくためにより高い次数の有理近似が必要であることを示している。
• $\alpha = 0.75$ の場合、$k$-Q法は(7,7)-BURAを上回るには $k=13$、(8,7)-R-BURAを上回るには $k=17$、(8,8)-R-BURAを上回るには $k=25$ 必要である。これは、高 $\alpha$ 値においてR-BURA法が積分法よりも顕著に効率的であることを示している。
• $f_2$ および $\alpha = 0.75$ の場合、$k$-Q法は(8,8)-R-BURAを上回るには $k=29$ 必要である。これは、R-BURA法が対応する積分法ソルバーに比べて最大4倍の効率性を示していることを示唆している。
• R-BURA法は、固定 $h$ に対して有理近似の次数に関して指数的収束を示し、BURA法および積分法と同様の性質を有するが、$\alpha$ が1に近い場合に顕著に優れた性能を示す。
• 本研究により、BURA法とR-BURA法が互いに補完的であることが確認された：$\alpha \to 0$ の場合にはBURA法が最も効果的であり、$\alpha \to 1$ の場合にはR-BURA法が優れている。両手法とも指数的収束を示し、$h \to 0$ に伴い精度が劣化する。