[論文レビュー] Comparison of approaches to characteristic classes of foliations

Anton S. Galaev|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、葉空間上の無限次フレーム bundle を通じて定義される Losik の特徴類と、Crainic と Moerdijk が導入した Čech-de Rham 俉同調類との間の写像を確立する。Losik の形式的幾何学枠組みを用いて、フレーム bundle の de Rham 俇同調類から葉空間の Čech-de Rham 俇同調類への非単射な準同型を構成し、Losik の特徴類が Crainic-Moerdijk の特徴類へ写されることが示された。非単射性は、Reeb 細分の例によって確認され、その際、de Rham 俇同調類では Godbillon-Vey 特徴類が消えるが、フレーム bundle 俇同調類では消えない。

ABSTRACT

It is shown that the characteristic classes of foliations that were defined by Losik and that take values in the de~Rham cohomology of the space of infinite order frames over the leaf space may be mapped to the characteristic classes with values in the Čech-de~Rham cohomology of the leaf space studied in details by Crainic and Moerdijk. This map is in general non-injective. All constructions are done using Losik's approach to Gelfand formal geometry. A similar result is obtained for the exotic characteristic classes as well as for the group actions of the diffeomorphisms. As illustrating examples, foliations of codimension one are discussed.

研究の動機と目的

• 細分の特徴類に関する2つの異なるアプローチを比較すること：Losik の無限次フレーム bundle を用いた構成と、Crainic-Moerdijk の葉空間の Čech-de Rham 俇同調類。
• Losik の特徴類（フレーム bundle の de Rham 俇同調類に属する）から、Crainic-Moerdijk の特徴類（葉空間の Čech-de Rham 俇同調類に属する）への自然な準同型を確立すること。
• この写像が一般に非単射であることを、S³ 上の Reeb 細分を用いた反例によって示すこと。ここで、de Rham 俇同調類では Godbillon-Vey 特徴類が消えるが、フレーム bundle 俇同調類では消えない。
• 多様体上の群作用へこの構成を拡張し、Bott-Thurston コサイクルを回復すること。また、微分同相群作用の文脈においても同様の非単射性を示すこと。

提案手法

• Losik の形式的幾何学枠組みを用いて、一般化されたアトラスと Dₙ 空間を定義し、葉空間 M/ℱ に滑らかな構造を与える。
• 各 Dₙ 空間 X に対して、そのエタール群体 G_X を構成し、Ȟ*(X) ≅ H*(BG_X) が成り立つことを示す。
• de Rham 俇同調類 H*(S(X)/O(n)) から Čech-de Rham 俇同調類 Ȟ*(S(X)/O(n)) への自然な写像を確立する。この写像は、フレーム bundle の de Rham 俇同調類と葉空間の Čech-de Rham 俇同調類との関係に基づく。
• 終端 Dₙ 空間（一点に構造を付加したもの）を用いて Haefliger 群体 Γₙ を実現し、特徴写像 H*(Wₙ,O(n)) → H*(BΓₙ) を導出する。
• チェーンホモトピーの議論を用いて、フレーム bundle Q(X) の Čech-de Rham 複体と X のそれとの間で、写像 μ と λ およびホモトピー F を通じて、擬同型（quasi-isomorphism）が成り立つことを示す。
• S³ 上の Reeb 細分および S¹ 上の群作用にこの構成を適用し、H*(X) では自明であるが、H*(S(X)/O(1)) では非自明な Godbillon-Vey 特徴類が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Losik が葉空間上の無限次フレーム bundle の de Rham 俇同調類を用いて定義する特徴類は、Crainic と Moerdijk が導入した葉空間の Čech-de Rham 俇同調類とどのように関係するか？
• RQ2 Losik の特徴類から Crainic-Moerdijk の特徴類への自然な写像は単射か。そうでない場合、その非単射性の障害は何か？
• RQ3 H*(S(M/ℱ)/O(n)) における Godbillon-Vey 特徴類が非自明であるが、H*(M/ℱ) では自明であるような例は存在するか？
• RQ4 この構成は、多様体上の群作用へどのように拡張可能か。また、Bott-Thurston コサイクルのような既知の不変量を回復できるか？
• RQ5 終端 Dₙ 空間は、Haefliger 群体を介した特徴類構成の統一に果たす役割は何か？

主な発見

• Losik が H*(S(M/ℱ)/O(n)) で定義する細分の特徴類は、Crainic と Moerdijk が Ȟ*(M/ℱ) で導入した Čech-de Rham 俇同調類へ写され、両者のアプローチの間で自然な準同型が確立される。
• 写像 H*(S(M/ℱ)/O(n)) → Ȟ*(M/ℱ) は一般に非単射であり、S³ 上の Reeb 細分の例によって確認された。ここで、H³(S³) では Godbillon-Vey 特徴類が消えるが、H³(S(S³/ℱ)/O(1)) では非自明である。
• 終端 Dₙ 空間を用いることで、Bott 写像 H*(Wₙ,O(n)) → H*(BΓₙ) が再現され、この基本的写像の新しい幾何的実現が得られた。
• 多様体上の群作用に対しては、写像 H*(Wₙ) → H*(S(M/G)/O(n)) → H*(G;Ω(M)) が得られ、S¹ 上の作用では Bott-Thurston コサイクルが回復される。
• フレーム bundle Q(X) の Čech-de Rham 複体は、明示的なチェーンホモトピーを介して X のそれと擬同型であることが確認され、Ȟ*(S(X)/O(n)) ≅ Ȟ*(X) の同型が裏付けられた。
• 非単射性は、S¹ 上の群作用の例によってさらに確認された。ここで、H*(G;ℝ) では Godbillon-Vey 特徴類が自明であるが、H*(S(S¹/G)/O(1)) では非自明である。