[論文レビュー] Comparison of Domain Wall Fermion Multigrid Methods

Peter Boyle, Azusa Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ドメインウォールフェルミオンに対して、再帰的チェビシェフ多項式に基づくマルチグリッド設定スキームを新たに導入し、大規模なボリュームにおいて現代のGPUを用いて、標準のShamirドメインウォールフェルミオン系の2倍の設定と解法を、1回のレッドブラックプリコンディショニング付き共役勾配法（CG）解法よりも高速に行えることを示している。この手法は、特に複数のHasenbusch行列式因数にわたる設定コストを均等化する場合に、従来のソルバーと比較して顕著な高速化を達成しており、チャイラルフェルミオンの実用的HMC加速への重要な一歩を示している。

ABSTRACT

We present a detailed comparison of several recent and new approaches to multigrid solver algorithms suitable for the solution of 5d chiral fermion actions such as Domain Wall fermions in the Shamir formulation, and also for the Partial Fraction and Continued Fraction overlap. Our focus is on the acceleration of gauge configuration sampling, and a compact nearest neighbour stencil is required to limit the calculational cost of obtaining a coarse operator. This necessitates the coarsening of a nearest neighbour operator to preserve sparsity in coarsened grids, unlike HDCG. We compare the approaches of HDCR and the Multigrid algorithm and also several new hybrid schemes. In this work we introduce a new recursive Chebyshev polynomial based setup scheme. We find that the HDCR approach, can both setup, and solve standard Shamir Domain Wall Fermions faster than a single solve with red-black preconditioned Conjugate Gradients on large volumes and for modern GPU systems such as the Summit supercomputer. This is promising for the acceleration of HMC, particularly if setup costs are shared across multiple Hasenbusch determinant factors. The setup scheme is likely generally applicable to other Fermion actions.

研究の動機と目的

• チャイRALフェルミオン作用素、特にドメインウォールフェルミオンのためのマルチグリッドソルバーを改善することで、格子QCDにおけるゲージ配置サンプリングを加速すること。
• 5次元チャイラルフェルミオン系におけるマルチグリッド設定および粗格子作用素構築の高い計算コストを解決すること。
• 計算オーバーヘッドを抑えるために、コンパクトな最近接ノードステンシルを用いた効率的でスケーラブルなマルチグリッドソルバーを実現すること。
• 5次元ドメインウォールおよびオーバラップフェルミオン作用素に対して、ハイブリッドスキームを含む複数のマルチグリッドアプローチを評価・比較すること。
• HMCにおいて複数のHasenbusch行列式因数にわたるマルチグリッド設定コストを均等化する可能性を検討すること。

提案手法

• 再帰的チェビシェフ多項式に基づくマルチグリッド設定スキームを提案し、粗格子部分空間を効率的に生成することで、設定コストを低減しつつ収束特性を維持する。
• 2つの主要なアプローチを適用：1つはヘルミートドメインウォール作用素のコarsening（Yamaguchi:2016kop）、もう1つはウィルスン作用素のコarsening（Brower:2020xmc）であり、両者とも最近接ノードコarseningを可能にし、スパarsityを保持する。
• 1段階目のウィルスン作用素に基づくコarseningと、2段階目の5次元ドメインウォール作用素に基づくコarseningを組み合わせたハイブリッドコarseningスキームを導入し、粗格子コストを低減する。
• 粗作用素にコンパクトな5次元ステンシルを採用することで計算効率を維持し、二乗作用素に起因する非局所的ステンシルの高コストを回避する。
• マルチグリッドサイクルにおけるスムージングにGCRアルゴリズムを採用し、$M^{\bar{\bar{M}}}$およびハイブリッドスキームにおいてBiCGSTABよりも優れた性能を示した。
• マルチグリッドフレームワークをGridライブラリに実装し、$16^3 \times 32$および$48^3 \times 96$のテストボリュームを用いてSummitスーパーコンピュータでベンチマークを実施した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的チェビシェフに基づくマルチグリッド設定スキームは、大スケール格子において、レッドブラックプリコンディショニング付き共役勾配法（CG）のコストを下回るドメインウォールフェルミオン系の総合コストを実現できるか？
• RQ2 最近接ノードコarseningを適用した場合に、Yamaguchi:2016kopおよびBrower:2020xmcアプローチの性能は、4次元$SU(3)$ゲージ理論においてどのように比較されるか？
• RQ3 HMCにおいて複数のHasenbusch行列式因数にわたるマルチグリッド設定コストをどれほど均等化できるか。これにより、ネット性能向上が達成可能か？
• RQ4 非エルミートマルチグリッドアプローチ（例：MG-PV）が標準ソルバーを上回れない理由は何か。どのような改良がそれらを実用的なものにできるか？
• RQ5 4次元および5次元コarseningを組み合わせたハイブリッドコarseningスキームは、粗格子コストを低減しつつ、ソルバー効率を維持できるか？

主な発見

• $48^3 \times 96$ボリュームにおいて、提案手法は標準のShamirドメインウォールフェルミオン系の2倍の設定と解法を、1回のレッドブラックプリコンディショニング付き共役勾配法（CG）解法よりも高速に実行できた。
• ハイブリッドコarseningスキーム（アルゴリズムF）により、細かい行列乗算回数が19,082回から2,744回にまで削減され、非レッドブラックソルバーと比較して顕著な効率向上が達成された。
• GCRアルゴリズムは、$M^{\bar{\bar{M}}}$およびハイブリッドスキームにおいて、スムージングとしてBiCGSTABよりも優れた効果を示した。
• 設定コストは5次元系ではなく4次元格子ボリュームに比例しており、これはチャイラルフェルミオンのスケーリングペナルティを低減する。
• 設定コストが複数のHasenbusch行列式因数にわたって均等化される場合、レッドブラックCGに対してネット性能向上を達成しており、HMC加速への強い可能性を示唆している。
• 非エルミートマルチグリッドアプローチ（MG-PV）は、依然として粗格子コストが高いため、効果がなく、このようなスキームが競争力を持つためにはさらなる開発が必要である。