[論文レビュー] Compatibility of Partitions, Hierarchies, and Split Systems.

Marc Hellmuth, David Schaller+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分割と階層または木型スプリットシステムの間の適合性を特徴づけ、線形時間アルゴリズムを提示する。特に、分割に適合する細分化された木が存在するかどうかに焦点を当てる。単一の分割に対する適合性は線形時間で解けるが、複数の分割が関与するとNP完全になる。ただし、分割の数をパrameterとして固定パラメータ適合性（fixed-parameter tractable）であることが示される。

ABSTRACT

The question whether a partition $\mathcal{P}$ and a hierarchy $\mathcal{H}$ or a tree-like split system $\mathfrak{S}$ are compatible naturally arises in a wide range of classification problems. In the setting of phylogenetic trees, one asks whether the sets of $\mathcal{P}$ coincide with leaf sets of connected components obtained by deleting some edges from the tree $T$ that represents $\mathcal{H}$ or $\mathfrak{S}$, respectively. More generally, we ask whether a refinement $T^*$ of $T$ exists such that $T^*$ and $\mathcal{P}$ are compatible. We report several characterizations for (refinements of) hierarchies and split systems that are compatible with (sets of) partitions. In addition, we provide a linear-time algorithm to check whether refinements of trees and a given partition are compatible. The latter problem becomes NP-complete but fixed-parameter tractable if a set of partitions is considered instead of a single partition. We finally explore the close relationship of the concept of compatibility and so-called Fitch maps.

研究の動機と目的

• 系統分類における、分割が階層またはスプリットシステムと適合する条件を特定すること。
• 分割の集合が連結成分のリーフ集合に対応するように、木の細分化が可能かどうかの条件を特徴づけること。
• 複数の分割が関与する場合の適合性の計算複雑性を調査すること。
• 適合性とFitchマップ（系統的再構築における既知の概念）との間の関係を確立すること。

提案手法

• 木の構造的性質と辺の削除を用いて、分割と階層またはスプリットシステムの適合性を特徴づける。
• 階層またはスプリットシステムの細分化された木表現と単一の分割の間の適合性をチェックする線形時間アルゴリズムを提案する。
• 木の分解と辺の削除解析を用いて、分割の要素と一致するリーフ集合を持つ連結成分を同定する。
• 複数の分割が関与する場合のNP完全なケースを扱うために、固定パラメータ適合性技術を適用する。
• Fitchマップの理論を活用し、適合性とマップに基づく制約との間の構造的・アルゴリズム的関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、分割は与えられた階層またはスプリットシステムと適合するか？
• RQ2 辺の削除後に得られる連結成分のリーフ集合が分割の集合に対応するように、木の細分化を構築できるか？
• RQ3 複数の分割が関与する場合、適合性をチェックする計算複雑性はどの程度か？
• RQ4 系統的木の文脈において、適合性関係はFitchマップとどのように関連しているか？

主な発見

• 単一の分割と階層またはスプリットシステムの間の適合性をチェックする線形時間アルゴリズムが存在する。
• 単一の分割に対する適合性は線形時間で解けるため、実用的応用においても効率的な扱いが可能である。
• 複数の分割が関与する場合、問題はNP完全になるため、計算の難易度が著しく上昇する。
• NP完全性にもかかわらず、分割の数をパrameterとして固定パラメータ適合性のまま保たれる。
• 適合性とFitchマップの間に密接な構造的関係が確立され、新たなアルゴリズム的知見が得られた。