[論文レビュー] Compatible Dubrovin-Novikov Hamiltonian operators, Lie derivative and integrable systems of hydrodynamic type

O. I. Mokhov|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、流体的型の局所ハミルトニアン作用素が非退化な同様の作用素と可換であるための必要十分条件として、その作用素が第二の作用素に沿ったベクトル場に沿ったリーダイバティブであることに等しいことを確立する。これは可換性の不変基準を提供し、Frobenius–Dubrovin多様体のクラスを定義し、逆散乱法を用いて解ける可積分な双ハミルトニアン階層を導く。

ABSTRACT

We prove that a local Hamiltonian operator of hydrodynamic type K_1 is compatible with a nondegenerate local Hamiltonian operator of hydrodynamic type K_2 if and only if the operator K_1 is locally the Lie derivative of the operator K_2 along a vector field in the corresponding domain of local coordinates. This result gives a natural invariant definition of the class of special flat manifolds corresponding to all the class of compatible Dubrovin--Novikov Hamiltonian operators (the Frobenius--Dubrovin manifolds naturally belong to this class). There is an integrable bi-Hamiltonian hierarchy corresponding to every flat manifold of this class. The integrable systems are also studied in the present paper. This class of integrable systems is explicitly given by solutions of the nonlinear system of equations, which is integrated by the method of inverse scattering problem.

研究の動機と目的

• Dubrovin–Novikovハミルトニアン作用素間の可換性に関する一般な不変基準を確立すること。
• 可換なDubrovin–Novikov作用素に関連する平坦多様体のクラス、特にFrobenius–Dubrovin多様体を特徴づけること。
• リーダイバティブ構造を用いて、流体的型の可積分な双ハミルトニアン階層を構成すること。
• ハミルトニアン作用素の可換性を通じて、可積分系を幾何学的かつ不変的な枠組みで理解するための基盤を提供すること。

提案手法

• ハミルトニアン作用素 $ K_1 $ と $ K_2 $ 間の可換性を、$ K_1 = L_X K_2 $ と定義するリーダイバティブ $ L_X K $ の使用。
• 非退化な流体的型ハミルトニアン作用素が平坦座標で局所的に定数であることを示すDubrovin–Novikov定理の適用。
• 可換なペア $ (P_1, P_2) $ から再帰作用素 $ R = P_1 P_2^{-1} $ を構成し、可積分階層を生成すること。
• リーダイバティブ構造と平坦計量 $ \eta^{ij} $ を用いて定義される $ R $ を用いて、階層 $ v^i_{t_n} = R^n v^j_x $ を導出すること。
• 著者による先行研究で示されたように、逆散乱法による系の明示的積分。
• ポテンシャルベクトル場 $ h^i = \eta^{ij} \partial \Phi / \partial v^j $ を用いた2次元トポロジカル場理論の結合性方程式への還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流体的型の局所ハミルトニアン作用素が非退化な同様の作用素と可換であるのはいつか？
• RQ2 ハミルトニアン作用素がベクトル場に沿った別の作用素のリーダイバティブであることを保証する幾何的条件は何か？
• RQ3 可換なDubrovin–Novikov作用素はどのようにして可積分な双ハミルトニアン階層を生成できるか？
• RQ4 平坦座標と定数計量は、可換作用素を特徴づけるために果たす役割は何か？
• RQ5 可換ペアから導かれる再帰作用素は、どのようにして逆散乱法で解ける可積分系を生成するか？

主な発見

• 局所ハミルトニアン作用素 $ K_1 $ が非退化な $ K_2 $ と可換であるための必要十分条件は、あるベクトル場 $ X $ に対して $ K_1 = L_X K_2 $ が成り立つことであり、完全な不変基準を提供する。
• 可換なDubrovin–Novikov作用素のクラスは、Frobenius–Dubrovin多様体を含む特別な平坦多様体のクラスに対応する。
• このような可換ペアによって生成される可積分系は、逆散乱法を用いて明示的に積分可能である非線形系の解として与えられる。
• 再帰作用素 $ R = P_1 P_2^{-1} $ は階層 $ v^i_{t_n} = R^n v^j_x $ を生成し、これは流体的型の双ハミルトニアン系を含む。
• 系 $ v^i_{t_1} = R v^j_x $ は、標準的作用素 $ P_1 $ と $ P_2 $ に関して双ハミルトニアンであり、逆散乱法を用いて可積分である。
• ポテンシャル $ \Phi $ から導かれる $ h^i $ を用いたとき、2次元トポロジカル場理論の結合性方程式が系の自然な還元として現れる。