[論文レビュー] Flat pencils of metrics and Frobenius manifolds

Boris Dubrovin|ArXiv.org|Mar 23, 1998

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 17被引用数 52

ひとこと要約

本稿は、準同次性条件の下で、平坦な双対計量の pencils とフォロービウス多様体の間に深い等価性を確立し、このような pencils の幾何が可積分階層および古典的 W代数の構造を符号化していることを示している。主な貢献は、平坦 pencils を通じたフォロービウス多様体の微分幾何的特徴付けであり、これによりループ空間上のバイハミルトニアン構造と結びつけられ、中心電荷および重み演算子を用いた可積分系および位相的場理論の分類の基礎が築かれる。

ABSTRACT

This paper is based on the author's talk at 1997 Taniguchi Symposium ``Integrable Systems and Algebraic Geometry''. We consider an approach to the theory of Frobenius manifolds based on the geometry of flat pencils of contravariant metrics. It is shown that, under certain homogeneity assumptions, these two objects are identical. The flat pencils of contravariant metrics on a manifold $M$ appear naturally in the classification of bihamiltonian structures of hydrodynamics type on the loop space $L(M)$. This elucidates the relations between Frobenius manifolds and integrable hierarchies.

研究の動機と目的

• 平坦な双対計量の pencils とフォロービウス多様体の間の幾何的対応を確立すること。
• フォロービウス多様体が水中型可積分階層の分類において果たす役割を明確化すること。
• ポアソン括弧および中心電荷を通じて、平坦 pencils の幾何を古典的 W代数の構造と結びつけること。
• 位相的場理論における genus 展開を理解するための微分幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• すべての λ に対して可逆かつ平坦なままとなる2つの計量の線形結合によって、平坦な双対計量の pencils を定義すること。
• 双対計量のリーマン接続および曲率テンソルを用いて、曲率テンソルの消滅によって平坦性を特徴付けること。
• ベクトル場 E および e および電荷 d を用いて準同次性を導入し、pencil をフォロービウス代数の重み付けと結びつけること。
• ループ空間 L(M) に理論を適用し、水中型バイハミルトニアン構造を導出すること。
• 形 { , }₁ − λ{ , }₂ のポアソン括弧を構成し、準同次性および不変性条件を課して古典的 W代数をモデル化すること。
• 平坦座標を用いて計量を定数形に簡約し、接続係数をゼロに単純化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準同次性の下で、平坦な双対計量の pencils とフォロービウス多様体の間にはどのような関係があるか？
• RQ2 2つの双対計量の線形結合がすべての λ に対して平坦かつ可逆となるための条件は何か？
• RQ3 M 上の平坦 pencils の幾何は、ループ空間 L(M) 上のバイハミルトニアン構造とどのように関係するか？
• RQ4 Euler 場および単位ベクトル場は、古典的 W代数の中心電荷を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 ポアソン括弧の準同次性条件が、古典的 W代数の構造およびその中心電荷をどのように決定するか？

主な発見

• 準同次性条件の下で、平坦な双対計量の pencils はフォロービウス多様体と等価であり、計量および接続の性質は pencils の幾何によって完全に決定される。
• 古典的 W代数の中心電荷は c = 12ρ² で与えられ、ρ はリー代数の正の根の和の半分である。これは、単純根系の Weyl 群に対して c = 12/(1−d)² [n/2 − 2tr(Λ²)] というフォロービウス多様体の公式と一致する。
• 場 T(s) の最初のポアソン括弧は中心電荷 c を持つバーリンガー型をとる。ε² 展開の主要項は、M 上のフォロービウス構造によって決定される。
• ε² 次の補正項は、2次元位相的場理論における Dijkgraaf-Witten および Getzler の公理によって一意に決定される。
• 係数 a^{αβ}_{k,l} および b^{αβ}_{k,l} の準同次性条件は、e に沿ったリー微分および拡張されたベクトル場 E を用いて表現され、特定の重み割り当てがなされる。
• ε⁴ 以降の高次補正項の構造は未解明であり、可積分階層の分類における開かれた問題を示している。