[論文レビュー] Complement-Free Couples Must Communicate: A Hardness Result for Two-Player Combinatorial Auctions

Tomer Ezra, Michal Feldman+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2018

Auction Theory and Applications参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2名のサブアドティブな入札者を伴う組合せオークションにおいて、1/2を超える近似を達成するには指数的通信量が必要であることを確立しており、たとえばランダム配分やグランドバンドルにおける2番目の入札価格オークションといった自明なプロトコルが、1/2を超える非自明な近似において最適であることを証明している。主な結果は、(1/2 + 6/log₂m)-近似を保証するあらゆるプロトコルが、アイテム数mに関して指数的通信量を要することを示しており、未解決の問題を解決した。

ABSTRACT

We study the communication complexity of welfare maximization in combinatorial auctions with $m$ items and two subadditive bidders. A $\frac{1}{2}$-approximation can be guaranteed by a trivial randomized protocol with zero communication, or a trivial deterministic protocol with $O(1)$ communication. We show that outperforming these trivial protocols requires exponential communication, settling an open question of [DobzinskiNS10, Feige09]. Specifically, we show that any (randomized) protocol guaranteeing a $(\frac{1}{2}+\frac{6}{\log_2 m})$-approximation requires communication exponential in $m$. This is tight even up to lower-order terms: we further present a $(\frac{1}{2}+\frac{1}{O(\log m)})$-approximation in poly($m$) communication. To derive our results, we introduce a new class of subadditive functions that are "far from" fractionally subadditive functions, and may be of independent interest for future works. Beyond our main result, we consider the spectrum of valuations between fractionally-subadditive and subadditive via the MPH hierarchy. Finally, we discuss the implications of our results towards combinatorial auctions with strategic bidders.

研究の動機と目的

• 2名のサブアドティブな組合せオークションにおいて、サブ指数的通信量で1/2を超える非自明な近似が可能かどうかという未解決問題を解明すること。
• n=2の場合のサブアドティブ評価関数における福利厚最大化のためのタイトな通信複雑性下界を確立すること。
• 分数的サブアドティブから大きく離れているが、将来の研究に役立つ可能性がある新しいサブアドティブ関数のクラスを導入すること。
• これらの結果が、組合せオークションにおける真実性あり・なしの通信効率の良いメカニズムに与える影響を検討すること。

提案手法

• 著者らは、分数的サブアドティブから大きく離れているサブアドティブ評価関数の存在を示すために、確率的技法を用いたハードインスタンスを構築した。
• 特定の被覆性質が正の確率で成立するように保証するため、集合のℓ-独立族を定義した。
• 主な技術的要素として、σS(⋅)のサブアドティビティと補集合関数の性質に基づいて、導出関数fℓS(⋅)がサブアドティブであることを背理法で証明した。
• すべてのℓサイズの部分集合と2進ベクトルの和集合を用いたバインドを適用し、正の確率でℓ-独立族が存在することを示した。
• この構築を用いて、(1/2 + 6/log₂m)-近似を達成するあらゆるプロトコルが、mに関して指数的通信量を要することを示した。
• さらに、多項式(m)通信量のプロトコルが(1/2 + 1/O(log m))-近似を達成できることを提示し、下界が低次の項を除いてタイトであることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2名のサブアドティブな組合せオークションにおいて、(1/2 + ε)-近似がサブ指数的通信量で達成可能か。
• RQ2 この設定において、1/2-近似を超える通信複雑性の閾値は何か。
• RQ3 分数的サブアドティブ関数から著しく異なるサブアドティブ評価関数は存在するか。また、それらはハードインスタンスの構築に利用可能か。
• RQ4 真実性ありとなしの通信効率の良いメカニズムの通信複雑性は、2名の場合にどのように比較されるか。
• RQ5 サブアドティブ評価関数とMPH階層との関係は、通信複雑性の観点でどうなるか。

主な発見

• 2名のサブアドティブ入札者に対して、(1/2 + 6/log₂m)-近似を保証するあらゆる（確率的）プロトコルは、mに関して指数的通信量を要する。
• 1/2-近似は、0またはO(1)の通信量で自明に達成可能であり、サブ指数的通信量ではそれ以上の近似は不可能である。
• 一致する上界が存在する：(1/2 + 1/O(log m))-近似は、多項式(m)通信量で達成可能である。
• 本稿では、分数的サブアドティブから大きく離れているが、独立した関心を引く新しいサブアドティブ関数のクラスを導入した。
• m個のアイテム上の任意の単調なサブアドティブ関数は、MPH-⌈m/2⌉に属する。これはMPH階層と関連づけられる。
• これらの結果は、この設定において、通信効率の良い真実性ありメカニズムでさえ、自明なプロトコルを上回ることは不可能であることを示唆している。