[論文レビュー] Information Equals Amortized Communication

Mark Braverman, Anup Rao|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、任意のメッセージ伝送が、提示された情報量に等しい通信コスト（線形項を除く）でシミュレート可能であることを示すことにより、関数または関係を計算する際のアモアタイズド通信複雑度が、内部情報コストに正確に等しいことを確立している。主な結果は、Slepian-Wolf定理を一般化し、ランダム化通信複雑度における強い直接和定理が、特定のバージョンのポインタジャンプ問題に対する効率的圧縮プロトコルの存在と同値であることを示している。

ABSTRACT

We show how to efficiently simulate the sending of a message M to a receiver who has partial information about the message, so that the expected number of bits communicated in the simulation is close to the amount of additional information that the message reveals to the receiver. This is a generalization and strengthening of the Slepian-Wolf theorem, which shows how to carry out such a simulation with low amortized communication in the case that M is a deterministic function of X. A caveat is that our simulation is interactive. As a consequence, we prove that the internal information cost (namely the information revealed to the parties) involved in computing any relation or function using a two party interactive protocol is exactly equal to the amortized communication complexity of computing independent copies of the same relation or function. We also show that the only way to prove a strong direct sum theorem for randomized communication complexity is by solving a particular variant of the pointer jumping problem that we define. Our work implies that a strong direct sum theorem for communication complexity holds if and only if efficient compression of communication protocols is possible.

研究の動機と目的

• 送信者の入力について受信者が部分的な事前知識を持つ場合に、メッセージを伝送するために必要な最小通信コストを特定すること。
• 決定的関数に限らない一般のメッセージ伝送（部分的情報を伴う）に対して、Slepian-Wolf定理を一般化すること。
• 2人協力プロトコルにおけるアモアタイズド通信複雑度と内部情報コストの関係を解明すること。
• ランダム化通信複雑度における強い直接和定理が成立するかどうか、およびその成立条件を示すこと。
• 直接和の問題に対する完全問題を同定すること：相関付きポインタジャンプ問題のプロミスバージョン。

提案手法

• 受信者が得る情報量 I(M;X|Y) に漸近的に等しい通信コストでメッセージ伝送をシミュレートするインタラクティブなシミュレーションプロトコルを提案する。
• 漸近的等確率性の性質と発散の性質を用いて、独立な複数コピーのメッセージ伝送の通信コストを分析する。
• 積分布と発散の上限に基づく新規圧縮技術を適用し、総発散コストが m·I で抑えられる m 個のプロトコルコピーをシミュレートする。
• 発散コスト I とラウンド複雑度 C を主なパラメータとする相関付きポインタジャンプ問題（CPJ）を導入し、直接和の完全問題として位置づける。
• CPJ が通信量 T(C,I) で解けるならば、任意の関数の n 個のコピーの通信複雑度に下界を与えることを示す。
• 複数のコピーにおける多数決を用いて正しさを強化し、誤り確率を低下させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 送信者の入力について受信者が部分的な知識を持つ場合、メッセージ伝送の通信コストを、受信者が得る情報量に一致させることができるか？
• RQ2 関数のアモアタイズド通信複雑度は、正確にその内部情報コストに等しいか？
• RQ3 ランダム化通信複雑度における強い直接和定理は成立するのか？もしそうなら、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 通信複雑度における直接和の問題に対して完全問題が存在するか？
• RQ5 相関付きポインタジャンプ問題は、通信的に効率的に解けるか？また、これは直接和の予想にどのような含意を持つのか？

主な発見

• 関数の n 個の独立コピーを計算するアモアタイズド通信複雑度は、単一コピーの内部情報コストに、線形項を除いて正確に等しい。
• 期待通信コストが I(M;X|Y) に等しいプロトコルが存在し、これは非決定的メッセージに対する Slepian-Wolf 定理の一般化である。
• ランダム化通信複雑度における強い直接和定理が成立するための必要十分条件は、相関付きポインタジャンプ問題（CPJ）に対する近似的最適プロトコルの存在に等しい。
• CPJ(C,I) 問題は直接和の問題の完全問題である：CPJ が通信量 T(C,I) = o(C) で解けるならば、直接和は成立しない。それ以外の場合は成立する。
• n = ⌊C/I⌋ のとき、CPJ(C,I) の n 個のコピーは O(C log(nC/ε)) の通信量で解ける。これは、直接和の失敗が CPJ に O(C/n) より多くの通信を要する必要があることを示唆する。
• 本稿では、CPJ(C,C/n) が o(C/n) の通信量で解けないならば、その n 個のコピーが o(n·R(f)) の通信量で解けることから、直接和予想の反例となることを証明している。