[論文レビュー] Complementarity and additivity for depolarizing channels

Nilanjana Datta, A. S. Holevo|ArXiv.org|Oct 18, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Stinespring拡大と双対性に基づく体系的な手法を用いて、消去作用素および転置消去作用素の補完作用素を計算し、最小Kraus表現を可能にする。作用素とその補完作用素のテンソル積が出力純粋性加法性を満たすことを確立し、次元d=3においてp > 4.79のp-ノルム乗法性の破れを示し、最小出力エントロピーの非加法性を示唆する。

ABSTRACT

In this paper we use the method of a recent paper (quant-ph/0509101) to compute complementary channels for certain important cases, such as depolarizing and transpose-depolarizing channels. This method allows us to easily obtain the minimal Kraus representations from non--minimal ones. We also study the properties of the output purity of the tensor product of a channel and its complement.

研究の動機と目的

• CP写像の一般的手法を用いて、消去作用素および転置消去作用素の補完作用素を計算すること。
• 提案された手法を用いて、非最小Kraus表現から最小Kraus表現を導出すること。
• 作用素とその補完作用素のテンソル積の出力純粋性を分析すること。
• これらの作用素について、乗法性および加法性の予想の妥当性を調査すること。

提案手法

• この手法は、等長埋め込みを介して、与えられた作用素から補完CP写像を構成するためのStinespring拡大と双対性を利用する。
• 環境に関する部分トレースを通じて作用素とその補完作用素の関係を活用し、作用素にはTr_C(VρV*)、補完作用素にはTr_B(VρV*)という恒等式を用いる。
• ユニタリ同値性とスペクトル分解を用いることで、非最小表現から最小表現への変換を可能にし、最小Kraus表現を導出できる。
• 出力純粋性Φ⊗Φ̃は、最大もつれ状態を入力とすることで分析され、出力密度行列Ω^meの明示的計算に至る。
• Ω^meの固有値は、反対称状態|ϕ_{ijk}⟩の正規直交基底を構成し、置換演算子F12, F23を用いることで計算される。
• P1およびP2による対称および反対称部分空間への射影を伴う解析により、Ω^me = [P1 + 3P2]/[d(d−1)²]の閉形式表現が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 消去作用素の補完作用素は、CP写像の一般的手法を用いて明示的に計算可能か？
• RQ2 作用素とその補完作用素のテンソル積は、最小出力Rényiエントロピーの加法性を満たすか？
• RQ3 特定のpおよびdについて、Φ⊗Φ̃の積作用素でp-ノルム乗法性が破れるか？
• RQ4 最大もつれ状態をΦ⊗Φ̃に与えた際の出力状態の構造は何か？
• RQ5 出力状態Ω^meの固有値は次元dおよび入力状態の選択にどのように依存するか？

主な発見

• d=3の場合、積作用素Φ⊗Φ̃の出力状態Ω^meの固有値は1/3（非 degenerate）、1/12（重複度8）、0（重複度6）であり、Φ⊗Φと一致する。
• Ω^meの固有値構造により、次元d=3においてp > 4.79のp-ノルム乗法性が破れることが示された。
• Φ⊗Φ̃の出力純粋性は、固有値が加法性条件と整合することから、最小出力Rényiエントロピーの加法性を満たす。
• d≥4の場合、最大出力p-ノルムのp乗と個々のノルムの積の比は≤1であるため、最大もつれ状態入力では違反が生じないが、他の入力状態では依然として違反が生じる可能性がある。
• ユニタリ自由度と等長作用素のスペクトル分解を活用することで、非最小表現から最小Kraus表現を成功裏に導出できた。
• 作用素Φ⊗Φ̃は、Φ⊗Φが持つ反転対称性を持たないため、d≥4において最大もつれ状態が違反を引き起こさないことが説明できる可能性がある。