[論文レビュー] Complementary Dual Subfield Linear Codes Over Finite Fields

Kriangkrai Boonniyom, Somphong Jitman|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、体のサイズが平方数（$q = r^2$）である有限体上での線形符号の2つの族、ヘルミート補双対符号およびトレースヘリュート補双対部分体線形符号を導入し、それらの性質を分析する。これらの構造下で符号が補双対であるための必要十分条件を確立し、そのような符号を生成する構成的手法を提示し、パラメータと具体的な例を示すことで、量子符号および古典的誤り訂正符号の理論に、より優れた双対性性質を有する符号の設計に貢献する。

ABSTRACT

Two families of complementary codes over finite fields $\mathbb{F}_q$ are studied, where $q=r^2$ is square: i) Hermitian complementary dual linear codes, and ii) trace Hermitian complementary dual subfield linear codes. Necessary and sufficient conditions for a linear code (resp., a subfield linear code) to be Hermitian complementary dual (resp., trace Hermitian complementary dual) are determined. Constructions of such codes are given together their parameters. Some illustrative examples are provided as well.

研究の動機と目的

• 体のサイズが平方数（$q = r^2$）である有限体上での補双対線形符号の構造と性質を調査すること。
• 2つの新しいクラス、すなわちヘルミート補双対線形符号およびトレースヘルミート補双対部分体線形符号の定義と特徴づけを行うこと。
• 線形符号（または部分体線形符号）がヘルミートまたはトレースヘルミート補双対であるための必要十分条件を特定すること。
• そのような符号の明示的構成例を提示し、次元および最小距離を含むパラメータを分析すること。
• 量子符号および古典的符号理論への応用を踏まえた、自己双対および補双対符号の理論に貢献すること。

提案手法

• 本稿は、平方順序の有限体上でのヘルミート内積を用いて、線形符号における双対性と補双対性を定義する。
• 部分体線形符号に対するトレースヘルミート双対性の概念を導入し、全体から基本部分体へと双対性を拡張する。
• ヘルミート内積下での生成行列のランクと核を用いて、符号がヘルミート補双対であるための必要十分条件を導出する。
• 部分体線形符号の場合、$ \mathbb{F}_q$ から $ \mathbb{F}_r$ へのトレース写像を用いてトレースヘルミート双対を定義し、それに応じた補双対性の条件を確立する。
• 生成行列と $ \mathbb{F}_q$ 上の代数的構成を用いた構成的手法を提供し、双対符号が元の符号と自明に交わることを保証する。
• 既知の符号族を用いて具体的に例を構成し、補双対性条件を満たしていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $ \mathbb{F}_q$（$q = r^2$）上での線形符号がヘルミート補双対であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 トレース写像を用いて、全体から部分体への双対性をどのように拡張し、トレースヘルミート双対性を定義できるか？
• RQ3 部分体線形であり、かつトレースヘルミート補双対である符号の構造的およびパラメータ的性質は何か？
• RQ4 次元や最小距離といった既知のパラメータを有する、そのような符号の明示的構成は可能か？
• RQ5 これらの構成は、符号理論における既存の自己双対または補双対符号族とどのように関係しているか？

主な発見

• 有限体 $ \mathbb{F}_q$（$q = r^2$）上での線形符号がヘルミート補双対であるための必要十分条件は、ヘルミート内積下での生成行列のランクと核を用いて記述される。
• 部分体線形符号の場合、$ \mathbb{F}_q$ から $ \mathbb{F}_r$ へのトレース写像を用いて、トレースヘルミート補双対双対性の同値条件が確立される。
• ヘルミート補双対符号の明示的構成が提供され、$[n,k,d]$ および $q = r^2$ といった具体的なパラメータを持つ例が含まれ、実現可能性が示されている。
• 既存の古典的符号から導かれるパラメータを持つ、トレースヘルミート補双対部分体線形符号が提示され、その存在と構造が示されている。
• 具体的な例は、理論的条件および構成の妥当性を確認しており、双対符号が元の符号と自明に交わるケースを含む。
• 結果として、トレースヘルミート双対性を有する部分体線形符号を含む、既知の補双対符号のクラスが拡張され、量子符号および古典的符号設計の分野が豊かにされている。