[論文レビュー] Complete bounded embedded complex curves in C^2

Antonio Alarcón, Francisco J. López|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、任意のℂ²内の凸領域において、完全で有界かつ適切に埋め込まれた複素曲線の存在を証明し、複素幾何学における長年の未解決問題を解決する。ホロモルフィック埋め込みとコンパクト集合による制御された被覆を用いた変形技法により、像内の発散路が無限長であることを保証することで、中間段階での自己交差が生じても完全性が保たれるように曲線を構成する。

ABSTRACT

We prove that any convex domain of C^2 carries properly embedded complete complex curves. In particular, we exhibit the first examples of complete bounded embedded complex curves in C^2

研究の動機と目的

• ℂ²における完全で有界な埋め込み複素曲線が存在するかどうかという未解決問題を、最小次元の場合に解くこと。
• 高余次元における完全ホロモルフィック埋め込みに関する先行結果を、ℂ²における複素曲線の臨界ケースに拡張すること。
• 自己交差を除去するトポロジカルな手術を施しても、正規性と完全性を保つような曲線の構成。
• ℂ²における完全で有界な埋め込み複素曲線の最初の例を提供し、複素幾何学における主要な空白を埋めること。

提案手法

• コンパクト部分集合上で一様収束するように、凸領域\mathcal{B} \subset \mathbb{C}^2へのホロモルフィック埋め込みの列\{X_n\}を構成する。
• コンパクト集合によるネストされた被覆\{\mathcal{D}^n\}を用い、距離の性質を制御することで完全性を保証する。
• 自己交差を含む浸漬曲線から、埋め込みられたアニュラスに置き換える変形プロセスを定義し、発散する弧の長さを保つ。
• 被覆\{\mathcal{D}^n\}のd-正規性とsummableな誤差列\{\epsilon_n\}を用いて距離推定を制御する。
• Y(U)内のすべての発散弧が無限大のユークリッド長さを持つことを確認することで、極限写像Yが正規的で完全かつ単射なホロモルフィック埋め込みであることを確立する。
• X_nがコンパクト部分集合上でC^1ノルムでYに収束することを用いて、Y(U)内の弧の長さ推定が被覆内の距離によって下から抑えられることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形による埋め込みの不安定性にもかかわらず、ℂ²に完全で有界な埋め込み複素曲線が存在しうるか？
• RQ2 ℂ²における浸漬複素曲線から自己交差を除去する際に、完全性を保つことは可能か？
• RQ3 ℂ²の任意の凸領域は、適切に埋め込まれた完全な複素曲線を含むか？
• RQ4 この構成を一般化して、高次元における強い負のホロモルフィックセクション曲率をもつ完全で有界な部分多様体を構成できるか？

主な発見

• 任意の凸領域\mathcal{B} \subset \mathbb{C}^2は、完全で適切に埋め込まれた複素曲線を含み、最小余次元における未解決問題を解決する。
• 自己交差の除去を伴う変形法により、ℂ²における完全で有界な埋め込み複素曲線の最初の例が構成され、完全性が保たれる。
• 像内のすべての発散弧が無限大のユークリッド長さを持つことが保証され、像の完全性の定義を満たす。
• 極限写像Y: U \to \mathcal{B}は正規的で単射なホロモルフィック埋め込みであるため、\mathcal{B}への適切な埋め込みである。
• 系1.2は、\mathbb{C}^{2k}および\mathbb{C}^{4k}における完全で有界な埋め込み複素k次元部分多様体が存在することを示し、強い負のホロモルフィックセクション曲率をもつ。
• 標準的な手術技法で一般的に生じる長さ短縮問題を回避するため、制御された被覆と近似写像の一様収束を用いる。