[論文レビュー] Complete semi-conjugacies for pseudo-Anosov homeomorphisms

John Franks, Michael Handel|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、擬アイソノフ表面同相形の被覆への持ち上げから、完成化された安定・非安定 R-木の積への完全な準同型写像を確立する。これはマークビッチの結果を一般化したものである。任意の元の写像と可換する同相形に対し、その準同型写像による逆像が持ち上げられた可換写像に関して不変であることを証明している。

ABSTRACT

Suppose $S$ is a surface of genus $\ge 2 $, $f: S o S$ is a surface homeomorphism isotopic to a pseudo-Anosov map $\alpha$ and suppose $ i S$ is the universal cover of $S$ and $F$ and $A$ are lifts of $f$ and $\alpha$ respectively. We show there is a semiconjugacy $\Theta : i S o \bar \L^s imes \bar \L^u$ from $F$ to $\bar A$, where $\bar \L^s$ ($\bar \L^u$) is the completion of the $R$-tree of leaves of the stable (resp. unstable) foliation for $A$ and $\bar A$ is the map induced by $A$. We also generalize a result of Markovich and show that for any $g \in Homeo(S)$ which commutes with $f$ and has identity lift $G : i S o i S$ and for any $(c,w)$ in the image of $\Theta$ each component of $\Theta^{-1}(c,w)$ is $G$-invariant.

研究の動機と目的

• 擬アイソノフ表面同相形の被覆と、完成化された安定・非安定 R-木の積との間で完全な準同型写像を構成すること。
• 準同型写像の文脈において、マークビッチの可換同相形に関する逆像の不変性に関する結果を一般化すること。
• 持ち上げられた同相形の力学的挙動と、完成化された R-木の積上の作用との間の動的対応を確立すること。
• 特に可換同相形の持ち上げによる作用に関して、準同型写像の逆像の構造を分析すること。

提案手法

• 表面同相形 $ f $ 及びその同倫的擬アイソノフ代表 $ \alpha $ を、普遍被覆 $ \tilde{S} $ に持ち上げ、それぞれ $ F $ と $ A $ を得る。
• 安定および非安定 foliation の葉の閉包を、距離的完成化によって得ることで、完成化された R-木 $ \bar{\mathcal{L}}^s $ と $ \bar{\mathcal{L}}^u $ を構成する。
• 写像 $ F $ と、積空間上の誘導写像 $ \bar{A} $ の力学的挙動を結びつける準同型写像 $ \Theta: \tilde{S} \to \bar{\mathcal{L}}^s \times \bar{\mathcal{L}}^u $ を定義する。
• 擬アイソノフ写像の構造を用いて、準同型写像が全射であり、foliation 構造を通じて力学的挙動を尊重することを保証する。
• R-木の完成化理論を適用して、準同型写像を全普遍被覆へ拡張し、その纤维を分析する。
• 任意の $ f $ と可換する同相形 $ g $ の持ち上げ $ G $ に対し、$ \Theta^{-1}(c,w) $ の各連結成分が $ G $-不変であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬アイソノフ表面同相形の被覆から、完成化された安定・非安定 R-木の積への完全な準同型写像を構成できるか？
• RQ2 持ち上げられた同相形の力学的挙動は、完成化された R-木の積上の作用とどのように関係するか？
• RQ3 特に可換同相形の作用に関して、準同型写像の逆像の構造はいかなるものか？
• RQ4 準同型写像は、可換表面同相形の持ち上げに関して、不変性をどの程度保っているか？
• RQ5 マークビッチの逆像不変性に関する結果は、R-木の積を用いた完全な準同型写像の設定に一般化可能か？

主な発見

• 写像 $ F $ から $ A $ が誘導する写像 $ \bar{A} $ への準同型写像 $ \Theta: \tilde{S} \to \bar{\mathcal{L}}^s \times \bar{\mathcal{L}}^u $ が存在し、全射であり、力学的挙動を結びつける。
• この準同型写像は完全である。すなわち、擬アイソノフ写像の普遍被覆上の全力学的挙動を尊重する。
• 任意の $ f $ と可換する同相形 $ g \in \mathrm{Homeo}(S) $ に対し、$ \Theta $ の像内の任意の $ (c,w) $ に対して、$ \Theta^{-1}(c,w) $ の各連結成分は $ G $-不変である。
• 準同型写像 $ \Theta $ の纤维の構造は、可換同相形の持ち上げの作用に関して不変であり、マークビッチの結果を完成化された R-木の設定へ拡張している。
• 完成化された R-木 $ \bar{\mathcal{L}}^s $ と $ \bar{\mathcal{L}}^u $ は、擬アイソノフ写像の力学的挙動の自然な位相的モデルを提供する。
• この構成により、準同型写像を通じて、普遍被覆と完成化された R-木の積との間で、標準的な動的対応が確立される。