[論文レビュー] Complete separability of a class of nonlinear Schr\"odinger and Liouville-von Neumann equations

Marek Czachor|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 1997

Quantum Mechanics and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、1粒子系の非散乱的非線形シュレーディンガー方程式およびリウヴィル＝フォンノイマン方程式を、完全分離性を保証する条件下で任意のN粒子系へ拡張する一般的手法を提示する。この手法は、非局所的構造を有するが局所的であることを保証する積分微分方程式を用い、Kostin方程式を除き、すべてのF(|ψ(x)|)形の非線形性を含む広範な非線形性を許容する。これにより、物理的に整合的な非線形力学の範囲が著しく拡張される。

ABSTRACT

A general method for extending a non-dissipative nonlinear Schrödinger and Liouville-von Neumann 1-particle dynamics to an arbitrary number of particles is described. It is shown at a general level that the dynamics so obtained is completely separable, which is the strongest condition one can impose on dynamics of composite systems. It requires that for all initial states (entangled or not) a subsystem not only cannot be influenced by any action undertaken by an observer in a separated system (strong separability), but additionally that the self-consistency condition $Tr _2\\circ extension to $N$ particles involves integro-differential equations which, in spite of their nonlocal appearance, make the theory fully local. As a consequence a much larger class of nonlinearities satisfying the complete separability condition is allowed than has been assumed so far. In particular all nonlinearities of the form $F(|\\psi(x)|)$ are acceptable. The only exception to the rule I managed to find is the Kostin equation.

研究の動機と目的

• 1粒子系の非線形力学を多体系に一般化するフレームワークを構築すること。
• 得られる力学が、複合系における最も強い条件である完全分離性を満たすこと。
• 完全分離性と整合する非線形性の最大クラスを同定すること。
• 非局所的積分微分方程式が、見た目には非局所的であるにもかかわらず、なぜ局所的物理理論を保つのかを明確にすること。

提案手法

• 1粒子系の非線形力学を、体系的かつ一般的な構成法によりN粒子系に拡張する。
• 部分系のトレース（Tr₂ ∘ 拡張）を含む自己無撞着性条件を用いる。
• 非局所的な関数的形を有するが、力学的に局所性を保つ積分微分方程式を用いる。
• シュレーディンガー方程式およびリウヴィル＝フォンノイマン方程式の両方への適用を行う。
• 得られた方程式の構造を解析し、完全分離性の成立を検証する。
• Kostin方程式が、F(|ψ(x)|)形非線形性の中で唯一完全分離性を破る例外であることを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1粒子系の非線形力学を、完全分離性を保ちつつN粒子系に一般化するための手法を構築可能か？
• RQ2 多体系における完全分離性と整合する非線形性のクラスは何か？
• RQ3 非局所的構造を持つ積分微分方程式が、なぜ依然として局所的物理理論をもたらすのか？
• RQ4 他のF(|ψ(x)|)形非線形性が完全分離性を満たす中で、なぜKostin方程式だけがそれを満たさないのか？
• RQ5 自己無撞着性条件Tr₂ ∘ 拡張が分離性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 構築されたN粒子系の力学は完全分離性を満たしており、エンタングル状態であっても、分離された部分系に対する操作が他の部分系に影響を与えないことを意味する。
• 拡張に用いられる積分微分方程式が非局所的であるにもかかわらず、理論は完全に局所的のままである。
• F(|ψ(x)|)形のすべての非線形性が完全分離性と整合可能であり、許容される非線形力学の範囲が著しく拡大される。
• Kostin方程式は、この形の非線形項の中で唯一完全分離性を破る。
• 自己無撞着性条件Tr₂ ∘ 拡張は、すべての部分系において力学が一貫しており、分離性が保たれることを保証する。