[論文レビュー] Completely bounded maps into certain Hilbertian operator spaces

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、0 < θ < 1 における C*-代数から複素補間空間 $(C,R)_\theta$ への完全有界線形作用素の分解基準を確立する。この作用素が完全有界であるための必要十分条件は、定義域代数上の状態を用いたある重み付きノルム不等式が成り立つことである。主な結果は、θ = 1/2 の場合のグロテンディック型分解定理を、(0,1) 全体に拡張したものであり、θ → 0 または θ → 1 のとき定数が 1 に近づく。これにより、列型および行型ヒルベルト空間の古典的ケースが回復される。証明は、非半有限なフォン・ノイマン代数における一般化された自由ガウス系と複素補間を用い、$(C,R)_\theta$ が任意の半有限フォン・ノイマン代数の前デュアルに完全同型埋め込みされないことを応用して示す。

ABSTRACT

We prove a factorization of completely bounded maps from a $C^*$-algebra $A$ (or an exact operator space $E\subset A$) to $\ell_2$ equipped with the operator space structure of $(C,R)_θ$ ($00$ such that \[ \forall a\in A\quad \|ua\|^2\le C f(a^*a)^{1-θ}g(aa^*)^θ.\] This extends the case $θ=1/2$ treated in a recent paper with Shlyakhtenko. The constants we obtain tend to 1 when $θ o 0$ or $θ o 1$. We use analogues of "free Gaussian" families in non semifinite von Neumann algebras. As an application, we obtain that, if $0

研究の動機と目的

• 完全有界作用素の分解定理を、$\ell_2$ に $ (C,R)_{1/2} $ の作用素空間構造をもたせる場合に限らず、すべての $\theta \in (0,1)$ に拡張すること。
• 半有限フォン・ノイマン代数の前デュアルに完全同型埋め込みされる $R \oplus C$ の部分空間を同定すること。
• $0 < \theta < 1$ に対して、補間空間 $(C,R)_\theta$ が任意の半有限フォン・ノイマン代数の前デュアルに完全同型埋め込みされないことを示すこと。
• 非可換 $L_1$-空間への $OH$ の完全同型埋め込みに関するジュンゲの定理を、補間に基づく新しい証明を与えること。

提案手法

• 列型および行型ヒルベルト空間 $C$ と $R$ の間の複素補間を用いて、$\ell_2$ に $0 < \theta < 1$ に対し $(C,R)_\theta$ の作用素空間構造を定義する。
• 非半有限なフォン・ノイマン代数における一般化された自由ガウス族を導入し、非可換ガウス変数の類似をモデル化する。
• C*-代数 $A$ 上の二つの状態 $f,g$ と定数 $C > 0$ を用いたノルム不等式を通じて、$u: A \to F = (C,R)_\theta$ なる完全有界作用素の分解基準を確立する。$\|ua\|^2 \leq C f(a^*a)^{1-\theta} g(aa^*)^\theta$。
• 双対性と補間技法を用いて、$R \oplus C$ の部分空間の双対を非可換 $L_p$-空間と関連付ける。
• 非可換キンチン型不等式と補間推定を用いて、$S_p[OH_n]$ 内の作用素ノルムを評価し、完全有界バナッハ＝マザール距離の下界を得る。
• 複素補間とシュリャフチェンコの一般化された円形系を用いて、ジュンゲの元々の議論を修正し、非可換 $L_1$-空間への $OH $ の埋め込みを統一的に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $\theta \in (0,1)$ に対して、補間空間 $(C,R)_\theta$ が半有限フォン・ノイマン代数の前デュアルに完全同型埋め込み可能か。
• RQ2 半有限フォン・ノイマン代数 $M$ に対して、$S^*$ が $M_*$ に完全同型埋め込み可能となる $R \oplus C$ の部分空間 $S$ の正確な特徴づけは何か。
• RQ3 $(C,R)_\theta$ への完全有界作用素の分解定理は、$\theta = 1/2$ を超えて拡張可能か。
• RQ4 $OH$ は非可換 $L_1$-空間に完全同型埋め込み可能か。もし可能ならば、補間と自由確率論を用いて証明可能か。
• RQ5 $E$ が非可換 $L_q$-空間の部分空間であるとき、完全有界バナッハ＝マザール距離 $d_{cb}(E, (C_n,R_n)_\theta)$ の漸近的挙動は何か。

主な発見

• 完全有界作用素 $u: A \to F = (C,R)_\theta$ は、$A$ 上の状態 $f,g$ と定数 $C > 0$ が存在し、すべての $a \in A$ に対して $\|ua\|^2 \leq C f(a^*a)^{1-\theta} g(aa^*)^\theta$ が成り立つことと同値であり、定数 $C$ は $\theta \to 0$ または $\theta \to 1$ のとき 1 に近づく。
• 任意の半有限フォン・ノイマン代数の前デュアルに $(C,R)_\theta$ が完全同型埋め込みされないことは、$0 < \theta < 1$ に対して成り立ち、ジュンゲの結果を一般化する。
• 半有限フォン・ノイマン代数 $M$ に対して $S^*$ が $M_*$ に完全同型埋め込み可能となる $R \oplus C$ の部分空間 $S$ として唯一可能なのは、$S = R$、$S = C$、$S = R \cap C$、およびこれらの直和から構成されるものに限る。
• 完全有界バナッハ＝マザール距離 $d_{cb}(E, (C_n,R_n)_\theta)$ に対して、$q > \max\{p, p'\}$ で $p = (1-\theta)^{-1}$、$p' = \theta^{-1}$、$\beta = \min\{p^{-1} - q^{-1}, p'^{-1} - q^{-1}\}$ のとき、$d_{cb}(E, (C_n,R_n)_\theta) \geq (2B_q)^{-1} n^{\beta/2}$ が成り立つ。
• $OH$ は非可換 $L_1$-空間に完全同型埋め込み可能であり、この結果は複素補間と一般化された自由ガウス系を用いて再証明され、従来のアプローチを統一する。