[論文レビュー] Completing orientations of partially oriented graphs

Joergen Bang-Jensen, Jing Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、部分的に向き付けられたグラフが、未向きの辺を向き付けることで特定のクラスの向き付けられたグラフに完成可能かどうかを決定する「向き付け完成問題」を導入する。研究では、この問題が局所トーナメントおよび非巡回局所トーナメントでは多項式時間で解けることが示され、一方で局所的推移的局所トーナメントではNP完全であることが判明した—これは、適切な区間グラフおよび円弧グラフの表現拡張に関する既知の結果を一般化・拡張したものである。

ABSTRACT

We initiate a general study of what we call orientation completion problems. For a fixed class C of oriented graphs, the orientation completion problem asks whether a given partially oriented graph P can be completed to an oriented graph in C by orienting the (non-oriented) edges in P. Orien- tation completion problems commonly generalize several existing problems including recognition of certain classes of graphs and digraphs as well as extending representations of certain geometrically representable graphs. We study orientation completion problems for various classes of oriented graphs, including k-arc- strong oriented graphs, k-strong oriented graphs, quasi-transitive oriented graphs, local tournament, acyclic local tournaments, locally transitive tournaments, locally transitive local tournaments, in- tournaments, and oriented graphs which have directed cycle factors. We show that the orientation completion problem for each of these classes is either polynomial time solvable or NP-complete. We also show that some of the NP-complete problems become polynomial time solvable when the input oriented graphs satisfy certain extra conditions. Our results imply that the representation extension problems for proper interval graphs and for proper circular arc graphs are polynomial time solvable, which generalize a previous result.

研究の動機と目的

• 部分的に向き付けられたグラフが、未向きの辺を向き付けることで指定されたクラスの向き付けられたグラフに完成可能かどうかを検討する一般的枠組みを提唱すること。
• 比較可能グラフの認識、強い有向グラフ、幾何的に表現可能なグラフの表現拡張問題といった既存の問題を一般化すること。
• k-弧強、k強、準推移的、局所トーナメント、in-トーナメントといった主要クラスにおける向き付け完成問題の計算量的複雑性を特定すること。
• 構造的制約（例えば、フレンドリーな部分向き付け）が、特に局所的推移的局所トーナメントにおいて複雑性に与える影響を調査すること。
• 適切な区間グラフおよび適切な円弧グラフの表現拡張に関する既知の結果を、向き付け完成問題に結びつけることで拡張すること。

提案手法

• 部分的に向き付けられたグラフ（pog）が与えられたとき、未向きの辺をどのように向き付ければ、目的のクラスCに属する有向グラフが得られるかという決定問題として、向き付け完成問題を形式化すること。
• 複雑性の分析に、還元および構造的グラフ理論を用いる。具体的には、in-トーナメントでは2-SATへの還元、および有向サイクルファクタ検出問題のような既知のNP完全問題への還元を用いる。
• 比較可能グラフのGallaiの分解方式と、グラフにおけるk-連結性の既知のアルゴリズムを応用して、特定の状況下での多項式時間解法を導出すること。
• 既知の特徴付け（例えば、弦的グラフが非巡回in-トーナメントとして特徴付けられ、適切な円弧グラフが連結な局所的推移的局所トーナメントの基になる無向グラフとして特徴付けられる）を活用すること。
• 固定されたkに対して、Robertson-Seymourの連結性アルゴリズムを用いて、入力がグラフである場合の非巡回π-連結性完成問題を解くこと。
• 「フレンドリーな」部分向き付けや循環順序（よい vs. 非常によい）といった構造的性質を定義・分析し、複雑性の境界を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの向き付けられたグラフクラスに対して、向き付け完成問題が多項式時間で解けるか、あるいはNP完全になるか？
• RQ2 適切な区間グラフの表現拡張問題は、非巡回局所トーナメントにおける向き付け完成問題を用いて一般化され、解けるか？
• RQ3 入力をフレンドリーな部分向き付けに制限した場合、局所的推移的局所トーナメントへの完成問題は多項式時間で解けるか？
• RQ4 kが固定されたとき、非巡回向き付けにおけるπ-連結性完成問題の複雑性はいかほどか？
• RQ5 すべての向き付けられたグラフで「よい」循環順序を持つ場合、必ず「非常によい」循環順序も持つのか？ そしてこれは循環順序問題の複雑性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 局所トーナメントのクラスに対して、向き付け完成問題は多項式時間で解ける。
• 非巡回局所トーナメントのクラスに対し、向き付け完成問題は多項式時間で解ける。これは、適切な区間グラフの表現拡張問題の既知の多項式時間解法を一般化したものである。
• 局所的推移的局所トーナメントのクラスに対し、向き付け完成問題はNP完全である。さらに、完全な局所的推移的トーナメントに対してもNP完全のままである。
• フレンドリーな部分向き付けに制限した場合、局所的推移的局所トーナメントへの向き付け完成問題は多項式時間で解ける。
• in-トーナメントに対する向き付け完成問題は多項式時間で解ける。2-SATへの還元が可能である。
• 有向サイクルファクタに対する向き付け完成問題はNP完全である。入力が部分的に向き付けられたグラフであっても同様にNP完全である。