[論文レビュー] Completions and derived de Rham cohomology

Bhargav Bhatt|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、特徴 $0$ のノエター的 $\mathbf{Q}$-スキームの有限型準同型に対して、イルシューのホッジ補完された導来 de Rham コホロロジーとハーツホーンの代数的 de Rham コホロロジーの間の標準的同型を確立し、長年の比較問題を解決する。主な革新は、$I$-adic 補完と導来 de Rham コホモロジーの間のブリッジとしてアダムス補完を用いることであり、選択を要しない構成を可能にするとともに、導来ホッジから de Rham へのスペクトル系列における非自明な微分の存在を明らかにする。

ABSTRACT

We show that Illusie's derived de Rham cohomology (Hodge-completed) coincides with Hartshorne's algebraic de Rham cohomology for a finite type map of noetherian schemes in characteristic 0; the case of lci morphisms was a result of Illusie. In particular, the E_1-differentials in the derived Hodge-to-de Rham spectral sequence for singular varieties are often non-zero. Another consequence is a completely elementary description of Hartshorne's algebraic de Rham cohomology: it is computed by the completed Amitsur complex for any variety in characteristic 0.

研究の動機と目的

• 特徴 $0$ の特異的代数的多様体に対して、導来 de Rham コホロロジーとハーツホーンの代数的 de Rham コホロロジーの間の標準的同型を確立すること。
• Künneth 公式のような性質が明確になるように、代数的 de Rham コホロロジーの明示的かつ選択を要しない構成を提供すること。
• 代数的 de Rham コホロロジーにおける導来ホッジフィルトレーションを定義し、研究すること。これは古典的ホッジフィルトレーションよりも細かく、より精密である。
• 導来ホッジから de Rham へのスペクトル系列における $E_1$-微分がしばしば非ゼロであることを示し、系列全体でのキャンセレーションが非自明であることを示すこと。

提案手法

• $I$-adic 補完と導来 de Rham コホモロジーの間のブリッジとして、アダムス補完 $\mathrm{Comp}_A(A,I)$ を導入する。
• クイレンの収束定理を用いて、アダムス補完に、導来 de Rham コホモロジーのホッジ切断と同型な完全なフィルトレーションを導入する。
• カールソンの定理を活用し、アダムス補完を $I$-adic 補完 $\widehat{A}$ と同一視することで、二つのコホモロジー理論を比較する。
• 閉埋め込み $\mathrm{Spec}(A/I) \hookrightarrow \mathrm{Spec}(A)$ に対して局所的に同型を証明し、その後下降を用いて大域的に拡張する。
• Mayer-Vietoris 列と局所コホモロジーの計算を用いて、スペクトル系列における重要なシーフコホモロジー群の消滅を検証する。
• 完成化されたアミツル複体を用いて、ベッチコホモロジーと導来 de Rham コホモロジーの間の明示的かつ乗法的同型を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴 $0$ の特異的代数的多様体に対して、導来 de Rham コホモロジーはハーツホーンの代数的 de Rham コホモロジーと一致するか？
• RQ2 導来ホッジから de Rham へのスペクトル系列における微分が非ゼロになり得るか？ そしてこれはコホモロジー的キャンセレーションにどのような意味を持つのか？
• RQ3 完成化されたアミツル複体を用いて、代数的 de Rham コホモロジーの選択を要しない明示的構成は可能か？
• RQ4 導来ホッジフィルトレーションは、代数的 de Rham コホモロジーにおける古典的ホッジフィルトレーションを厳密に細分化するか？
• RQ5 この比較結果は、正の特徴に意味的に拡張可能か？

主な発見

• 任意のノエター的 $\mathbf{Q}$-スキームの有限型準同型に対して、ホッジ補完された導来 de Rham コホモロジーは、ハーツホーンの代数的 de Rham コホモロジーと標準的に同型である。
• 代数的 de Rham コホモロジーにおける導来ホッジフィルトレーションは、標準的ホッジ理論的フィルトレーションよりも厳密に細かい。
• 導来ホッジから de Rham へのスペクトル系列における $E_1$-微分はしばしば非ゼロであり、系列全体での非自明なキャンセレーションが生じることを示唆する。
• 完成化されたアミツル複体は、任意の有限型アフィン $\mathbf{C}$-スキームに対して、$\mathrm{R}\Gamma(X^{\mathrm{an}},\mathbf{C}) \simeq \widehat{R \to R^{\tens 2} \to \cdots}$ を用いてベッチコホモロジーを乗法的に計算する。
• $\mathbf{P}^3$ の表面に沿った自己接合ブロー・アップの例において、$c_2: K^0(X) \otimes \mathbf{Q} \to \mathrm{Fil}^2 H^4(X^{\mathrm{an}},\mathbf{C}) \cap H^4(X^{\mathrm{an}},\mathbf{Q})$ は全射でない。これはこの設定においてブロッハ＝ベイリソン予想が成立しないことを示している。
• 導来ホッジから de Rham へのスペクトル系列はキャンセレーションを示す：各階層のコホモロジーは無限次元であるが、全複体のコホモロジーは有限次元である。