[論文レビュー] Integral p-adic Hodge theory

Bhargav Bhatt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用数 47

ひとこと要約

この論文は、$ℝ_p$ の整数環の上での正則で滑らかな形式的スキームに対して、Breuil–Kisin–Farguesモジュール（Dieudonnéモジュールの混合特異的類似）に値をとる新しい$p$-進コホモロジー理論を導入する。Fontaineの周期環を用いた比較同型により、クリスタリン、ド・ラーム、エタールコホモロジーが統一され、クリスタリンコホモロジーにおける$p$- torsion が$p$-進エタールコホモロジーにおけるものより小さくなることが示され、$p$- torsion-free な仮定のもとで、クリスタリンコホモロジーがエタールコホモロジーから整数的再構成可能であることが示される。

ABSTRACT

I will describe joint work with M. Morrow and P. Scholze on the construction of a new integral cohomology theory for smooth projective schemes over the ring of integers of a p-adic field. The new theory realizes de Rham cohomology as a specialization of etale cohomology (integrally), and thus yields consequences about torsion by semicontinuity.

研究の動機と目的

• $ℝ_K$ 上の正則で滑らかな形式的スキームに対して、新しい整数的$p$-進コホモロジー理論を構成すること。ここで$K$は残渣体が完全な$p$-進体である。
• 既知のすべての$p$-進コホモロジー理論——クリスタリン、ド・ラーム、エタール——を一つの枠組みに統一すること。
• $p$-進エタールコホモロジーとクリスタリンコホモロジーの強い整数的比較定理を確立すること、特に$p$- torsion が存在しない場合に注目すること。
• Breuil–Kisinモジュールの理論を用いて、エタールコホモロジーからクリスタリンコホモロジーを体系的かつ整数的に再構成すること。

提案手法

• コホモロジー理論は、Faltingsのほぼ純粋性定理と、Berthelot–Ogusが元来定義した導来カテゴリにおける$L\eta$-作用素を用いて構成される。
• コホモロジー複体$A\Omega_{\mathfrak{X}}$は、$q$-変形されたド・ラームコホモロジーとして定義され、自然なフィルトレーションおよびガロア／フロベニウス作用が備わる。
• アフィンな部分には、Langer–Zinkのド・ラーム–ワット複体と関連づけられ、具体的な計算モデルを提供する。
• 構成は、Farguesによって定義された混合特異的Dieudonnéモジュールの圏に基づくもので、Breuil–Kisinモジュールを一般化する。
• 比較同型は、$B_{\mathrm{crys}}$ および $B_{\mathrm{dR}}$ の周期環を用いて確立され、明示的な複体とフィルトレーションとの整合性が使われる。
• 主な技術的道具は、$A\Omega_{\mathfrak{X}}$ を特定のペルフェクトイド複体の極限と同定することであり、これにより導来代数的幾何学の技法が使えるようになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての既知の$p$-進コホモロジー理論に特殊化する、単一の整数的$p$-進コホモロジー理論を構成可能か？
• RQ2 エタールコホモロジーの一般化の整数的再構成は、どのようにしてクリスタリンコホモロジーから可能になるか？
• RQ3 $p$-進エタールコホモロジーとクリスタリンコホモロジーにおける$p$- torsion の正確な関係は何か？
• RQ4 導来カテゴリ上の$L\eta$-作用素は、整数的$p$-進コホモロジーにどの程度寄与するか？
• RQ5 エタールとクリスタリンコホモロジーの比較同型を、$p$ を逆数にしないで整数的に行えるか？

主な発見

• ガロア作用およびフロベニウス作用、フィルトレーションと両立する比較同型 $H^i_{\text{ét}}(X_C,\mathbb{Z}_p)\otimes_{\mathbb{Z}_p} B_{\mathrm{crys}} \cong H^i_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))\otimes_{W(k)} B_{\mathrm{crys}}$ が存在する。
• $n \geq 0$ に対して、クリスタリンコホモロジーにおける$p$- torsion の長さは、$\mathrm{length}_{W(k)}(H^i_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))_{\mathrm{tor}}/p^n) \geq \mathrm{length}_{\mathbb{Z}_p}(H^i_{\text{ét}}(X_C,\mathbb{Z}_p)_{\mathrm{tor}}/p^n)$ を満たし、クリスタリンコホモロジーにおける$p$- torsion-free 性がエタールコホモロジーにおけるそれに対応することを示す。
• $H^i_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))$ と $H^{i+1}_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))$ が両方とも$p$- torsion-free ならば、$H^i_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))$ は、Breuil–Kisinモジュールの構成を用いて $H^i_{\text{ét}}(X_C,\mathbb{Z}_p)$ から整数的に回復可能である。
• $A\Omega_{\mathfrak{X}}$ はド・ラームコホモロジーの$q$-変形であり、アフィンな部分ではド・ラーム–ワット複体を用いてコホモロジーを計算する。
• $A\Omega_{\mathfrak{X}}$ の構成は、$L\eta$-作用素とFaltingsのほぼ純粋性定理に依存しており、降下と比較定理の両方を可能にする。
• この理論は、$H^i_{\text{ét}}(X_C,\mathbb{Z}_p)\otimes_{\mathbb{Z}_p} B_{\mathrm{dR}}$ に自然な $B_{\mathrm{dR}}^+$-格子を提供し、ホッジフィルトレーションおよびド・ラーム比較と整合する。