[論文レビュー] Complex-analytic Neron models for arbitrary families of intermediate Jacobians

Christian Schnell|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、重み−1の極小的ホッジ構造の変動に関連する任意の族の間隔ヤコビアンに対して、フィルター付きD加群および混合ホッジ加群を用いて、複素解析的ネロンモデルを構成する。このモデルは、特異性のない正則な部分空間に正確に対応する、適切な正則関数を正則的に拡張し、特異性のない正則関数の部分空間に正確に対応する。また、正則的交差除法や単調性を仮定しない新しいグリーン＝グリフィス零点集合予想の証明を提供する。

ABSTRACT

Given a family of intermediate Jacobians (for a polarized variation of Hodge structure of weight -1) on a Zariski-open subset of a complex manifold, we construct an analytic space that naturally extends the family. Its two main properties are: (a) the horizontal and holomorphic sections are precisely the admissible normal functions without singularities; (b) the graph of any admissible normal function has an analytic closure inside our space. As a consequence, we obtain a new proof for the zero locus conjecture of M. Green and P. Griffiths. The construction uses filtered D-modules and M. Saito's theory of mixed Hodge modules; it is functorial, and does not require normal crossing or unipotent monodromy assumptions.

研究の動機と目的

• 複素多様体上の任意の間隔ヤコビアン族に対して、P. グリフィスの未解決問題であるネロンモデルの構成を解決すること。
• 正則的交差除法や単調性を仮定しない状況において、適切な正則関数をネロンモデルの正則的セクションに正則的に拡張すること。
• 適切な正則関数が特異性を持たない場合に、その零点集合が代数的であることを示す、グリーン＝グリフィス零点集合予想の新しい証明を提供すること。
• ねじれ特異性を持つ正則関数のための解析的ネロンモデルを構成し、それが解析的カテゴリーにおいて最大であることを示すこと。
• 特異点の解消やモノドロミーの簡約技術を避ける、関手的かつ幾何的に自然な構成を確立すること。

提案手法

• 混合ホッジ加群およびフィルター付きD加群の理論を用いて、ネロンモデルを複素解析的空間として構成する。
• ネロンモデルを、ホッジバンドルのデリーニュ拡張のセクションのうち、整数格子セクションによる商として定義する。
• ノルム的軌道および混合ノルム的軌道の理論を用いて、特異点上のファイバー構造を記述する。
• 水平性の概念を用いて、ネロンモデルの正則的セクションを特異性を持たない適切な正則関数に正確に対応させる。
• 正則関数のグラフの閉包を解析的空間内で考察することで、モデルがすべての適切な拡張を捉えていることを示す。
• この構成が関手的であり、特異点の解消やモノドロミーの仮定に依存しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則的交差除法や単調性を仮定しない状況で、任意の間隔ヤコビアン族に対して複素解析的ネロンモデルを構成できるか？
• RQ2 特異性を持たない適切な正則関数は、ネロンモデルの水平かつ正則的セクションに正確に対応するか？
• RQ3 任意の適切な正則関数のグラフは、ネロンモデル内に解析的に閉じているか？
• RQ4 ネロンモデルはハウスドルフ空間か？また、解析的カテゴリーにおけるその存在に対する位相的障害は何か？
• RQ5 この解析的ネロンモデルの構成を用いて、グリーン＝グリフィス零点集合予想を再証明できるか？

主な発見

• 構成された解析的空間 $\bar{J}(\text{H})$ は、間隔ヤコビアンのネロンモデルであり、水平かつ正則的セクションは特異性を持たない適切な正則関数に正確に対応する。
• 任意の適切な正則関数のグラフは $\bar{J}(\text{H})$ 内に解析的に閉じており、このモデルがそのような拡張に対して普遍的であることを確認する。
• この構成は関手的であり、特異点の解消や単調性への還元を必要とせず、一般の設定に適用可能である。
• この構成により、グリーン＝グリフィス零点集合予想の新しい証明が得られ、適切な正則関数の零点集合が代数的であることが示される。
• 特異点上のファイバーは正の次元の複素リーダンプ群（例：$\bC^*$ や $\bC$）になり得るため、一般にはネロンモデルがハウスドルフでないことが示される。
• 例から、非ねじれ特異性を持つ正則関数に対して、原点上のファイバーが1次元であることが示され、このような場合にハウスドルフな解析的ネロンモデルは存在しないことが示唆される。