[論文レビュー] A generalization of the Neron models of Green, Griffiths and Kerr

Brosnan, Patrick, Pearlstein, Gregory+1 more|ArXiv.org|Sep 30, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、混合Hodgeモジュールを用いて、負の重みの極小的Z-ホッジ構造の間接的ジャコビアンのネロンモデルを一般化する。任意の基底の部分コンパクト化上に、適切な正規関数を拡張し、各ストラトゥム上で複素リー群に分類され、整数局所系統のプッシュフォワードに関連する離散的商群をもつ位相群を構成する。

ABSTRACT

We generalize a construction of the Neron model for a family of intermediate Jacobians due to Green, Griffiths and Kerr by using the theory of mixed Hodge modules. It is a topological group defined over any partial compactification of the base space, and it `graphs' admissible normal functions. Moreover, there is a stratification of the partial compactification such that the restriction over each stratum is a complex Lie group over the stratum.

研究の動機と目的

• 曲線の場合に限らない、間接的ジャコビアンのネロンモデル構成を拡張し、グリーン、グリフィス、カーの研究を一般化すること。
• 任意の基底空間の部分コンパクト化上に、自然なネロンモデルを定義し、適切な正規関数の拡張性を保つこと。
• ホッジ理論的およびモノドロミー的データを尊重する位相群構造を、混合Hodgeモジュール理論を用いて構成すること。
• ネロンモデルが各ストラトゥム上で複素リー群に制限されるような、コンパクト化のストラティフィケーションを確立すること。
• 連結部分と離散的商群からなる短完全列を通じて、ネロンモデルの構造を明確にすること。

提案手法

• ホッジバンドルのデリーニュ拡張を整数局所系統のプッシュフォワードで割ることでネロンモデルを構成する。
• 混合Hodgeモジュール理論を用いて、コンパクト化全体にわたるホッジフィルトレーションおよびモノドロミー作用の整合性を保証する。
• ホイットニーのストラティフィケーションの開被覆上での貼り合わせを通じてネロンモデルを定義し、各ストラトゥムにおける正規関数のコhomological不変量の不変性を利用する。
• 正規関数のコhomological不変量 γs(ν) が各ストラトゥム上で局所定数であることに着目し、セクションの整合性のある貼り合わせを保証する。
• 適切な正規関数に関連するグラフ型成分の合併としてネロンモデルを構成し、不変量が一致する場合の自然同型を備える。
• 商群 G が基底と局所ホメオモルフィックであり、R¹j⁎LZ に関連するエタール空間の開部分空間に同定され、Gs がプッシュフォワードの茎に埋め込まれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ理論的技法を用いて、曲線の場合に限らない間接的ジャコビアンのネロンモデル構成を高次元の基底空間へ一般化できるか？
• RQ2 部分コンパクト化上の位相群として、適切な正規関数の拡張を体系的に符号化する方法は何か？
• RQ3 特に、連結リー群部分と離散的商群への分解を含め、ストラティファイドコンパクト化上でのネロンモデルの正確な構造は何か？
• RQ4 正規関数のコhomological不変量 γs(ν) はストラトゥムを越えてどのように振る舞い、ネロンモデルの成分の貼り合わせをどのように制御するか？
• RQ5 離散的商群 G はどの程度局所的に自明であるか、またはハウスドルフ空間か。また、ホッジ構造の間接拡張とどのように関係するか？

主な発見

• ネロンモデル J̄S(H) は、部分コンパクト化 S̄ 上の位相群であり、S 上の間接的ジャコビアン族を拡張する。
• S 上の任意の適切な正規関数 ν は、ホイットニーのストラティフィケーションの各ストラトゥム上で正則なセクションとして一意に拡張可能である。
• ネロンモデルは短完全列 0 → J̄S(H)⁰ → J̄S(H) → G → 0 に含まれ、J̄S(H)⁰ は各ストラトゥム上で連結ファイバーをもつ複素リー群である。
• 商群 G は S̄ 上の位相群であり、S̄ と局所ホメオモルフィックであり、各 s ∈ S̄ に対して Gs は (R¹j⁎LZ)s の部分群である。
• 群 G は R¹j⁎LZ に関連するエタール空間の開部分空間に同定され、その茎 Gs は適切な正規関数がコhomological不変量写像を通じて写される像によって決定される。
• 純粋な重み -1 の場合、自然な包含 Gs ⊗ Q ↪ HomMHS(Q, H¹is⁎j!⁎H_Q) が存在し、追加の条件（例えば、単調性のモノドロミーまたはアーベル・多様体族）が満たされれば、これは全射である。