[論文レビュー] Complex-analytic structures on moment-angle manifolds

Taras Panov, Yuri Ustinovsky|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、完全な単体的ファンに付随するモーメント・アングル多様体に非ケーラーな複素解析的構造を構成し、ポリトープの場合を越えてLVM多様体の構成を一般化する。これらの多様体を、トーリック多様体上の正則主バンドルを複素群の作用で商取ることで実現し、Borelのスペクトル系列を用いてドレオールコhomologyおよびホッジ数を計算することで、ホッジ数が位相的性質ではなく複素構造の選択に依存することを明らかにした。

ABSTRACT

We show that the moment-angle manifolds corresponding to complete simplicial fans admit non-Kaehler complex-analytic structures. This generalises the known construction of complex-analytic structures on polytopal moment-angle manifolds, coming from identifying them as LVM-manifolds. We proceed by describing Dolbeault cohomology and some Hodge numbers of moment-angle manifolds by applying the Borel spectral sequence to holomorphic principal bundles over toric varieties.

研究の動機と目的

• LVM多様体の枠組みに依存せずに、モーメント・アングル多様体上の複素構造を内挿的に構成すること。
• 完全な単体的ファンを用いて、既知のポリトープ的モーメント・アングル多様体における複素解析的構造を、非ポリトープ的場合へ一般化すること。
• トーリック多様体上の正則主バンドルにBorelスペクトル系列を適用することで、モーメント・アングル多様体のドレオールコhomologyおよびホッジ数を計算すること。
• ホッジ数が複素構造に依存することを明確にし、一般には位相的不変量ではないことを示すこと。

提案手法

• モーメント・アングル多様体を $\mathcal{Z}_{\mathcal{K}} = U(\mathcal{K})/C$ とし、$C \cong \mathbb{C}^\ell$ が座標部分空間の配置の補集合 $U(\mathcal{K})$ 上に正則に作用することにより実現する。
• トーリック多様体 $X_\Sigma$ のコhomologyおよびバンドル構造を解析することで、Borelスペクトル系列を用いて $\mathcal{Z}_{\mathcal{K}}$ のドレオールコhomologyを計算する。
• トーリック多様体のCox構成から導かれる関係を用いて、生成子 $\xi_i, \eta_j$ を持つ微分付き代数的モデルを構成する。
• スペクトル系列を適用し、$h^{p,q}(\mathcal{Z}_{\mathcal{K}})$ を計算する。重要な式には $\dim \ker d|_W$、$\dim dV$、$\dim dA^{2,0}$ が含まれる。
• $m-n$ が奇数の場合に「ゴースト」頂点を導入し、$m-n=2\ell$ となるようにすることで、正則な $\mathbb{C}^\ell$-作用を保証する。
• ファン構成から得られる $\mathcal{Z}_P$ 上の複素構造を、古典的なLVM構造と関連づけ、ポリトープ的場合に等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な単体的ファンから得られるモーメント・アングル多様体に、LVMフレームワークに依存しない内挿的な非ケーラーな複素解析的構造を構成できるか？
• RQ2 モーメント・アングル多様体のドレオールコhomologyおよびホッジ数は、複素構造の選択にどのように依存するか？
• RQ3 Cox構成および正則主バンドル構造が、これらの複素多様体の不変量を計算する上で果たす役割は何か？
• RQ4 同じ位相的モーメント・アングル多様体上でも、異なる複素構造に対してホッジ数は不変か？
• RQ5 スペクトル系列による $H^{*,*}_{\bar{\partial}}(\mathcal{Z}_{\mathcal{K}})$ の計算は、ファンの組合せ的データをどのように反映するか？

主な発見

• 完全な単体的ファンに付随するモーメント・アングル多様体 $\mathcal{Z}_{\mathcal{K}}$ は、$U(\mathcal{K})$ を正則な $\mathbb{C}^\ell$-作用で商取ることで、非ケーラーな複素構造を有する。
• ドレオールコhomologyは、トーリック多様体上の正則主バンドルにBorelスペクトル系列を適用することで計算される。
• ホッジ数 $h^{1,0}(\mathcal{Z}_{\mathcal{K}})$ は、$\mathcal{Z}_{\mathcal{K}}$ がトーラスでない限り、$h^{0,1}(\mathcal{Z}_{\mathcal{K}})$ よりも厳密に小さいため、一般には非ケーラー性が示唆される。
• Calabi–Eckmann多様体 $\mathrm{CE}(p,q)$ に対して、ドレオールコhomologyは $\Lambda[\omega,\eta] \otimes \mathbb{C}[x]/(x^{p+1})$ に同型であり、$\omega$ は $H^{q+1,q}$ の類を表す。
• $\mathrm{CE}(1,1) \times \mathrm{CE}(2,2)$ と $\mathrm{CE}(1,2) \times \mathrm{CE}(1,2)$ において、ホッジ数 $h^{2,1}$ が異なるため、ホッジ数が位相的性質ではなく複素構造の選択に依存することを示している。
• ホフプト多様体の場合 $\mathcal{Z}_P \cong S^1 \times S^{2n+1}$ では、非ゼロホッジ数は $h^{0,0} = h^{0,1} = h^{n+1,n} = h^{n+1,n+1} = 1$ に限られる。