[論文レビュー] Complex Chern--Simons bundles in the relative setting

Dennis Eriksson, Gerard Freixas i Montplet+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2021

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、デリーニ–エルキクおよびボット–チェルン類にインspiredされた関手的交線論を用いて、リーマン曲面の族の相対的設定において、複素チャーン–サイモンズバンドルを導入する。バンドルの結晶的性質を確立し、その曲率がアティヤ–ボット–ゴールドマン形式に一致することを証明し、2つの主要な予想を解決する：ベルガマンとベルズの射影的構造の比較に関する予想、およびカッペル–ミラーねじれのリーマン–ロッホ公式に関する予想。

ABSTRACT

Complex Chern-Simons bundles are line bundles with connection, originating in the study of quantization of moduli spaces of flat connections with complex gauge groups. In this paper we introduce and study these bundles in the families setting. The central object is a functorial direct image of characteristic classes of vector bundles with connections, for which we develop a formalism. Our strategy elaborates on Deligne-Elkik's intersection bundles, and a refined Chern-Simons theory which parallels the use of Bott-Chern classes in Arakelov geometry. In the context of moduli spaces, we are confronted with flat relative connections on families of Riemann surfaces. To be able to rely on the functorial approach, we prove canonical extension results to global connections, inspired by the deformation theory of harmonic maps in non-abelian Hodge theory. The relative complex Chern-Simons bundle $\mathcal{L}_{CS}$ is then defined as a functorial direct image of the second Chern class on the relative moduli space of flat vector bundles. We establish the crystalline nature of $\mathcal{L}_{CS}$, and the existence of a holomorphic extension of natural metrics from Arakelov geometry. The curvature of $\mathcal{L}_{CS}$ can be expressed in terms of the Atiyah-Bott-Goldman form, in agreement with the classical topological approach. To highlight a few applications, we first mention a characterization of projective structures of Riemann surfaces in terms of connections on intersection bundles. In particular, we settle a conjecture of Bertola-Korotkin-Norton on the comparison between the Bergman and the Bers projective structures. This is the problem of determining the accessory parameters of quasi-Fuchsian uniformizations. A conjecture of Cappell-Miller is also established, to the effect that their holomorphic torsion satisfies a Riemann-Roch formula.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン曲面の族の相対的設定において、複素チャーン–サイモンズバンドルの関手的形式主義を構築すること。
• ベルトーラ–コロトキン–ノートンが提起したベルガマンとベルズの射影的構造の関係に関する予想を解決すること。
• カッペル–ミラー正則ねじれのためのリーマン–ロッホ公式を確立し、デリーニのリーマン–ロッホ等長写像を拡張すること。
• チャーン–サイモンズ変換を用いた接続を通じて、交線バンドル上の射影的構造の新しい特徴付けを提供すること。
• 平坦な相対接続の正規拡張を証明し、非アーベルホッジ理論におけるグローバルな計量および曲率解析を可能にすること。

提案手法

• デリーニ–エルキクの交線バンドル形式主義を適応し、平坦バンドルの相対的モジュライ空間上の2番目のチャーン類の関手的直接像を構成する。
• アラケロフ幾何における2次的不変量を扱うために、ボット–チェルン類を用いた精錬されたチャーン–サイモンズ理論を構築する。
• チャーン–サイモンズ変換を核として定義し、射影的構造の族をデリーニペアリング上の接続へ写像する。
• 調和写像の変形理論を適用し、平坦な相対接続がグローバル接続へ正規拡張されることを証明する。
• 曲線族上の $ SL_r(bC)$-バンドルの普遍モジュライ空間を用いて、相対的複素チャーン–サイモンズバンドル $ L_{ m CS}$ を定義する。
• 計量の正則的拡張を確立し、トランスグレッション類を用いて $ L_{ m CS}$ の曲率がアティヤ–ボット–ゴールドマン形式と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素チャーン–サイモンズバンドルは、リーマン曲面の族の関手的・相対的設定においてどのように定義可能か？
• RQ2 リーマン曲面上のベルガマンとベルズの射影的構造の関係は何か？ そして、チャーン–サイモンズ理論を用いて特徴付け可能か？
• RQ3 カッペル–ミラー正則ねじれはリーマン–ロッホ公式を満たすか？ もしそうならば、デリーニのリーマン–ロッホ等長写像とはどのように関係するか？
• RQ4 複素チャーン–サイモンズバンドルは、交線バンドル上の接続を通じて射影的構造を特徴付けるために利用可能か？
• RQ5 相対的複素チャーン–サイモンズバンドルの曲率は何か？ そして、アティヤ–ボット–ゴールドマン形式のような古典的位相的不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 相対的複素チャーン–サイモンズバンドル $ L_{ m CS}$ は結晶的であることが示され、その曲率はアティヤ–ボット–ゴールドマン形式に等しい。
• ベルトーラ–コロトキン–ノートンのベルガマンとベルズの射影的構造の比較に関する予想は、チャーン–サイモンズ変換を用いて証明された。
• カッペル–ミラーねじれはリーマン–ロッホ公式を満たし、予想の確認と同時にデリーニのリーマン–ロッホ等長写像が正則ねじれへ拡張された。
• 形式主義を用いて、テイヒミュラー空間上の1番目のタウトロジカル類とワイエル–ペトロフ形式の関係を再証明した。
• 複素チャーン–サイモンズバンドルは、シュォットキー空間上のタフタジャン–ゾグラフ・リウヴィル作用の簡単な構成を提供する。
• アラケロフ幾何から相対的複素チャーン–サイモンズバンドルへの計量の正則的拡張の存在が確立された。