[論文レビュー] SINGULAR BOTT-CHERN CLASSES AND THE ARITHMETIC GROTHENDIECK RIEMANN ROCH THEOREM FOR CLOSED IMMERSIONS

Burgos Gil|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 14

ひとこと要約

本論文は算術K理論における特異Bott-Chern類の公理的枠組みを提供し、Bismut, Gillet, Souléの理論が一意に定まる同次的理論であることを証明する。本研究では、閉埋め込みにおける算術Grothendieck-Riemann-Roch定理を確立し、2つの独立した結果を導出する：固定波面集合を持つ微分形式のPoincaré補題と、特定のBott-Chern類の直接像の閉じている性質。

ABSTRACT

We study the singular Bott-Chern classes introduced by Bismut, Gillet and Soule. Singular Bott-Chern classes are the main ingredient to define direct images for closed immersions in arithmetic K-theory. In this paper we give an axiomatic definition of a theory of singular Bott-Chern classes, study their properties, and classify all possible theories of this kind. We identify the theory defined by Bismut, Gillet and Soule as the only one that satisfies the additional condition of being homogeneous. We include a proof of the arithmetic Grothendieck-Riemann-Roch theorem for closed immersions that gen- eralizes a result of Bismut, Gillet and Soule and was already proved by Zha. This result can be combined with the arithmetic Grothendieck- Riemann-Roch theorem for submersions to extend this theorem to ar- bitrary projective morphisms. As a byproduct of this study we obtain two results of independent interest. First, we prove a Poincare lemma for the complex of currents with fixed wave front set, and second we prove that certain direct images of Bott-Chern classes are closed.

研究の動機と目的

• 算術K理論における特異Bott-Chern類の公理的定義を提供すること。
• 特異Bott-Chern類理論のすべての可能性を分類し、一意な同次的理論を同定すること。
• 閉埋め込みにおける算術Grothendieck-Riemann-Roch定理を確立し、既存の結果を一般化すること。
• 広範な数学的関心をもつ2つの独立した結果を導出すること：固定波面集合を持つ微分形式のPoincaré補題と、Bott-Chern類の直接像の閉じている性質。
• 準同型写像と閉埋め込みの結果を組み合わせることで、任意の射影的準同型写像への算術Grothendieck-Riemann-Roch定理の拡張を可能にすること。

提案手法

• 関手性、引き戻しとの可換性、および分割条件に基づく特異Bott-Chern類の公理的体系を構築すること。
• 微分形式と波面集合の理論を用いて、直接像における特異Bott-Chern類の振る舞いを分析すること。
• 固定波面集合を持つ微分形式のPoincaré補題を適用し、類のコhomological性質を確立すること。
• 双対性とdbar-技術を用いて、閉埋め込みによるBott-Chern類の直接像が閉形式であることを証明すること。
• チャーン類とTodd類の補正項の明示的計算を通じて、閉埋め込みにおける算術Grothendieck-Riemann-Roch定理を構築すること。
• 閉埋め込みに関する結果と既知の準同型写像に関する定理を組み合わせることで、任意の射影的準同型写像への算術Grothendieck-Riemann-Roch定理の拡張を達成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bismut, Gillet, Souléが定義した特異Bott-Chern類を一意に特徴付ける公理的性質は何か？
• RQ2 特異Bott-Chern類理論の同次性を保証する条件は何か？
• RQ3 算術K理論における閉埋め込みへの算術Grothendieck-Riemann-Roch定理は、どのように拡張可能か？
• RQ4 固定波面集合を持つ微分形式のコhomological性質は何か？また、Bott-Chern類とどのように関係するか？
• RQ5 Bott-Chern類の直接像が閉形式であるための条件は何か？

主な発見

• Bismut, Gillet, Souléが定義した特異Bott-Chern類理論は、すべての可能な理論の中で一意に定まる同次的理論である。
• 固定波面集合を持つ微分形式の複体に対してPoincaré補題が確立され、局所的解体性が得られる。
• 閉埋め込みによるBott-Chern類の直接像が閉形式であることが示され、算術Riemann-Roch理論における重要な技術的結果となる。
• 閉埋め込みにおける算術Grothendieck-Riemann-Roch定理が証明され、Bismut, Gillet, Souléの結果が一般化される。
• 閉埋め込みに関する結果と既知の準同型写像に関する定理を組み合わせることで、任意の射影的準同型写像への算術Grothendieck-Riemann-Roch定理の拡張が可能になる。
• 本研究は、独立した関心をもつ2つの結果をもたらす：微分形式のコhomological Poincaré補題と、Bott-Chern類の直接像の閉じている性質。