[論文レビュー] Complex Classical Fields and Partial Wick Rotations

Arthur Jaffe, Christian D. Jäkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2013

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ひとこと要約

本稿は、部分的ウィック回転を用いた複素古典的スカラー場のフレームワークを導入し、非ガウス型モデルへのフェ Feynman-Kac 関係の一般化と、コンactified時空におけるスペクトル条件の確立を達成する。反射正定性と解析性を用いて、空間的円周上での ${\mathscr{P}}(\varphi)_2$-モデルのスペクトル条件を証明し、有限温度量子場へと形式主義を拡張し、熱的 KMS 条件を考察する。

ABSTRACT

We study some examples of complex, classical, scalar fields within the new framework that we introduced in a previous work. In these particular examples, we replace the usual functional integral by a complex functional arising from partial Wick rotation of a quantum field. We generalize the Feynman-Kac relation to this setting, and use it to establish the spectral condition on a cylinder. We also consider positive-temperature states.

研究の動機と目的

• 部分的ウィック回転から生じる複素作用を持つ量子場のための古典的場の枠組みを構築すること。
• 正の測度を持たない非ガウス型、複素関数積分設定へフェインマン＝カックの公式を一般化すること。
• 反射正定性を用いて、空間的円周上での ${\mathscr{P}}(\varphi)_2$-モデルに対するスペクトル条件 $H_{\vec{v}} \geq 0$ を確立すること。
• 形式主義を正の温度量子場へと拡張し、熱的 KMS 条件を分析すること。
• 平坦チューブ定理を用いて、複素古典的場とワイトマン関数、および前方チューブ内での解析性を結びつけること。

提案手法

• 量子場ハミルトニアンの部分的ウィック回転から導かれる複素関数積分に、実関数積分を置き換える。
• 非二次的相互作用に対して正の測度がなくてもよい一般化されたフェインマン＝カック公式を用いて期待値を定義する。
• 二つの直交する反射平面を用いた二重反射正定性を適用し、スペクトルの下界を導出する。
• 時間方向をコンパクト化した $S^1 \times \mathbb{R}^{d-1}$ を用いて熱的状態を構成し、複素時間領域における解析性を分析する。
• 平坦チューブ定理を用いてワイトマン関数を複素時間領域へ拡張し、解析性および KMS 性質を保証する。
• ローレンツ変換とスケーリングを用いて、ブーストされた熱的2点関数を元の KMS 条件に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的ウィック回転から生じる複素的・非ガウス的関数的へフェインマン＝カック関係を一般化することは可能か？
• RQ2 ローレンツ対称性が欠如する空間的円周上での ${\mathscr{P}}(\varphi)_2$-モデルに対して、スペクトル条件 $H_{\vec{v}} \geq 0$ が成立するか？
• RQ3 複素古典的場は熱的平衡状態および相対論的 KMS 条件とどのように関係するか？
• RQ4 反射正定性と修正されたシュヴィンガー関数を用いて、ワイトマン関数の複素時間ストリップ内での解析性を確立できるか？
• RQ5 二重反射正定性は、古典的複素場と正のスペクトルを持つ量子場理論を結びつける際に果たす役割は何か？

主な発見

• 一般化されたフェインマン＝カック公式により、正の測度を持たない非ガウス的・複素作用に対して期待値を定義可能である。
• 二重反射正定性と解析性を用いて、空間的円周上での ${\mathscr{P}}(\varphi)_2$-モデルに対するスペクトル条件 $H_{\vec{v}} \geq 0$ が証明された。
• 関数 $\exp(-t\cosh\beta\, H_{\vec{v}})$ を用いて定義される修正シュヴィンガー関数は、前方チューブ $\mathcal{T}^{n-1}$ へ拡張可能であり、解析性を保証する。
• $S^1 \times \mathbb{R}^{d-1}$ 上の熱的場に対して、2点関数はストリップ $|\Im(t-t')| < \beta/(1+|\vec{v}|)$ 内で解析的であり、KMS 条件を満たす。
• ローレンツブーストを施した熱的場の2点関数は、逆温度 $\sqrt{1-\vec{v}^2}\beta$ における KMS 条件と一致し、相対論的 KMS 挙動が確認された。
• 形式主義により、正のスペクトルと熱的平衡性を持つ量子場理論が、複素古典的場と部分的ウィック回転を用いて実現された。