[論文レビュー] Complex deformation of critical Kähler metrics

Haozhao Li|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、定曲率平均曲面のPacard-Xuの関数的アプローチにインspiredされた関数的法を用いて、複素構造の変化に伴う定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量およびケーラー・リッチソリトンの変形について、新たな解析的アプローチを提供する。トレースレスコhomology類の下で近傍のケーラー類にcscK計量の存在を確立し、対称性が保たれる場合に複素構造を変化させた場合にもこれを拡張し、群不変性を保つ変形族において極値ソリトンの存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we use Pacard-Xu's methods to discuss the complex deformation of constant scalar curvature metrics in the case of fixed and varying complex structures. Moreover, we also discuss the complex deformation of Kähler Ricci solitons.

研究の動機と目的

• 固定および変化する複素構造の下での定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の変形について、新規の関数的法を用いた代替的証明を提供すること。
• Futaki不変量の非退化性仮定を外すことで、cscKおよびケーラー・リッチソリトンの変形に関する先行結果を拡張すること。
• 複素構造の小さな変形の下で、トレースレス(1,1)-類による摂動を受けたケーラー類にcscK計量の存在を確立すること。
• 等長群の最大コンpact部分群が保存される変形の場合に、変形されたケーラー類に極値ソリトンの存在を確立すること。

提案手法

• Futaki不変量を用いて構成された関数Φ(t, β)を導入し、小刻みtに対する摂動されたケーラー類[ωg + tβ]におけるcscK計量の存在を検出する。
• 線形化方程式における核の障害を克服するために、定曲率平均曲面問題におけるPacard-Xu法を適用し、非自明な核を持つ場合の陰関数定理に依存しない。
• スカラー曲率をキリングポテンシャルの直交補空間上に射影するための射影作用素Πg⊥およびΠφ⊥を用い、変形方程式の可解性を保証する。
• 変形問題における線形化作用素の逆可換性を保つために、複素変形(Jt, gt, ωt)にG-不変性を課す。
• 非自明な正則ベクトル場を扱い、可解性を維持するために、射影を施した修正スカラー曲率方程式S(t, φ) = 0を用いる。
• G-不変ケーラー潜在関数の空間における射影方程式S(t, φ) = 0に陰関数定理の技法を適用し、小刻みtに対して解の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Futaki不変量の非退化性を仮定しないで、cscK計量が小さな複素構造の変化に伴い変形可能かどうか。
• RQ2 Pacard-Xuの関数的法が、cscK計量の変形における核の障害を効果的に解消できるか。
• RQ3 複素変形(Jt, gt, ωt)がどのような条件下で、近傍のケーラー類にケーラー・リッチソリトンを維持するか。
• RQ4 等長群が変形に正則的に作用する場合に、変形されたケーラー類に極値ソリトンを構成可能かどうか。

主な発見

• 任意のトレースレスβ ∈ H^{1,1}(M)で単位ノルムを満たすものに対して、ε₀ > 0が存在し、t ∈ (0, ε₀)でΦ(t, β) = 0ならば、Mは[ωg + tβ]にcscK計量を有する。
• 関数Φはt²展開を持つ：Φ(t, β) = t²∫_M (Πg(Ri¯jβj¯i))² ωgⁿ + O(t³)であり、主要な障害がtの2次に比例することが示される。
• ωgがケーラー＝アインシュタインでβがトレースレスのとき、障害はt⁴にまで低下する：Φ(t, β) = t⁴∫_M (Πg(βi¯jβj¯i))² ωgⁿ + O(t⁵)。
• Φ(t, β)の最初のm係数a₁(β), ..., aₘ(β)が消えるならば、Mは[ωg + tβ]にスカラー曲率が平均に近いケーラー計量ωt,βを有する：||s(ωt,β) - s̄(t)||_{Cᵏ} ≤ C t^{(m+1)/2}。
• G-不変な複素変形(Jt, gt, ωt)に対して、方程式S(t, φ) = 0はφ ∈ Cᵏ⁺²に解をもち、小刻みtに対して[ωt]にG-不変極値ソリトンの存在が保証される。
• 例として、ℂℙ²の一点を blown up した多様体が、2πc₁(ℳ) - t[E]に小刻みt > 0に対して極値ソリトンを有することを示すが、これはケーラー＝アインシュタイン計量を有さない。