[論文レビュー] Complex Horseshoes and the Dynamics of Mappings of Two Complex Variables

Ralph W. Oberste-Vorth|ArXiv.org|Jul 4, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、スメールの実ヒョウモンと多項式類似写像に類似した複雑な力学系理論を発展させ、2つの複素変数におけるヘノン類似写像および準ヘノン類似写像に焦点を当てる。複素ヒョウモン—横断的ホモクリニック点によって定義される—が、記号的シフトに同型なカオス的力学を示すことが確立されており、主な結果として、このような系は $ d $ 個の記号に対する完全なシフトを支持することが示されている。これは、実ヒョウモン力学の理論を複素領域に一般化するものである。

ABSTRACT

In this study, a theory analogous to both the theories of polynomial-like mappings and Smale's real horseshoes is developed for the study of the dynamics of mappings of two complex variables. In partial analogy with polynomials in a single variable there are the Hénon mappings in two variables as well as higher dimensional analogues. From polynomial-like mappings, Hénon-like and quasi-Hénon-like mappings are defined following this analogy. A special form of the latter is the complex horseshoe. The major results about the real horseshoes of Smale remain true in the complex setting. In particular: (1) Trapping fields of cones(which are sectors in the real case) in the tangent spaces can be defined and used to find horseshoes. (2) The dynamics of a horseshoe is that of the two-sided shift on the symbol space on some number of symbols which depends on the type of the horseshoe. (3) Transverse intersections of the stable and unstable manifolds of a hyperbolic periodic point guarantee the existence of horseshoes.

研究の動機と目的

• 2つの複素変数の写像に対して、実ヒョウモンおよび多項式類似写像の理論を複素領域へ拡張すること。
• ヘノン類似写像および準ヘノン類似写像を、実ヘノン写像の複素版として定義し、それらを分析すること。
• 横断的ホモクリニック点から生じる複素ヒョウモンが、記号的シフトに同型なカオス的力学を誘導することを確立すること。
• このような系の力学が、$ d $ 個の記号に対する完全なシフトに位相的に共役であることを証明し、古典的結果を複素ケースに一般化すること。
• 解析的自己同型写像 $ \mathbb{C}^2 $ の力学において、複素ヒョウモンがどれほど広範に存在するかを示すこと、特に固有値が共鳴する吸引的固定点の吸引域において。

提案手法

• 2つの複素変数における多項式類似写像の複素解析的摂動としてヘノン類似写像を定義し、実ヘノン写像を一般化する。
• 固定点における安定多様体と不安定多様体の横断的ホモクリニック交点を用いて、複素ヒョウモンを定義する。
• 局所座標 $ D_s \subset W^s $、$ D_u \subset W^u $ を構成し、両者とも円板に微分同相的であり、点 $ \mathbb{p} $ で横断的に交わることを保証する。
• $ D_s $ にポincare計量を用いて順序を定め、$ D_u $ を変形することで、正 forward イテレーションにおいて正確に $ d $ 個の横断的交点が得られることを保証する。
• トラップコーン場の議論を適用する：コーン $ \mathcal{C}_z = \{ (\xi_1, \xi_2) : |\xi_2| < |\xi_1| \} $ および $ \mathcal{C}_z' = \{ (\xi_1, \xi_2) : |\xi_1| < |\xi_2| \} $ を定義し、これらがそれぞれ $ F^{\circ N} $-および $ F^{\circ -N} $-トラップであることを示す。
• 有限回の反復 $ N = m + n $ 後に、$ U_m = D_{u,m} \times D_s $ という積領域への制限写像 $ F^{\circ N} $ が、次数 $ d $ のヘノン類似写像となり、その力学が $ d $ 個の記号に対する完全なシフトに位相的に共役であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実ヒョウモンの理論を2つの複素変数の複素解析写像へ一般化することは可能か？
• RQ2 $ \mathbb{C}^2 $ におけるヘノン類似写像および準ヘノン類似写像は、実ケースと類似したカオス的力学を示すか？
• RQ3 複素力学における横断的ホモクリニック点が、完全なシフト構造を生じる条件は何か？
• RQ4 共鳴固有値の存在が、吸引域および複素ヒョウモンの存在に与える影響は何か？
• RQ5 解析的自己同型写像 $ \mathbb{C}^2 $ の力学は、一般に複素ヒョウモンを支持するのに十分に豊かか？

主な発見

• 解析的自己同型写像 $ \mathbb{C}^2 $ の力学において、特に共鳴固有値を伴う吸引的固定点の吸引域において、複素ヒョウモンが存在する。
• 複素ヒョウモンの力学は、横断的ホモクリニック点の数 $ d $ に対応する $ d $ 個の記号に対する完全なシフトに位相的に共役である。
• $ N = m + n $ として、適切な積領域 $ U_m $ への制限写像 $ F^{\circ N} $ は、次数 $ d $ のヘノン類似写像となり、シフト構造を保証する。
• コーン場 $ \mathcal{C}_z $ と $ \mathcal{C}_z' $ はそれぞれ $ F^{\circ N} $-および $ F^{\circ -N} $-トラップであり、双曲性および構造的安定性を保証する。
• この構成は、小さな摂動に対しても安定している：$ D_s $ と $ D_u $ のサイズを調整することで、交点数を正確に $ d $ 個に制御でき、シフト構造が保たれる。
• この結果により、スメールのヒョウモン定理が複素領域へ一般化され、複素ヒョウモンが単に可能であるのではなく、2変数の複素力学において広く存在することが示された。