[論文レビュー] Complex hyperbolic hyperplane complements

Igor Belegradek|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元 $n$ の複素双曲的 $n$-多様体から、余次元2の完全測地的部分多様体を除いたものの位相的・幾何的性質を研究する。補完部分に、負の曲率を持つ完備で有限体積の計量を構成し、基本群が相対的双曲的であり、強い剛性性およびアルゴリズム的性質を満たすことを証明する。$n > 1$ の場合、モストウ型剛性およびバーム＝コンヌ予想が成り立つ。

ABSTRACT

We study spaces obtained from a complete finite volume complex hyperbolic n-manifold M by removing a compact totally geodesic complex (n-1)-submanifold. The main result is that the fundamental group of M-S is relatively hyperbolic, relative to fundamental groups of the ends of M-S, and M-S admits a complete finite volume A-regular Riemannian metric of negative sectional curvature. It follows that for n>1 the fundamental group of M-S satisfies Mostow-type Rigidity, has finite asymptotic dimension and rapid decay property, satisfies Borel and Baum-Connes conjectures, is co-Hopf and residually hyperbolic, has no nontrivial subgroups with property (T), and has finite outer automorphism group. Furthermore, if M is compact, then the fundamental group of M-S is biautomatic and satisfies Strong Tits Alternative.

研究の動機と目的

• 完備で有限体積の複素双曲的 $n$-多様体 $M$ から、コンパクトな完全測地的複素 $(n-1)$-部分多様体 $S$ を除いたものの基本群を理解すること。
• 多様体 $M \setminus S$ 上に、負の断面曲率を持つ完備で有限体積のリーマン計量を構成すること。
• 基本群 $\pi_1(M \setminus S)$ が境界成分の基本群に関して相対的双曲的であることを確立すること。
• 基本群に強い代数的および幾何的剛性性質が成り立つことを示し、語問題と共役問題の可解性、有限な外部自己同型群の存在を含む。
• 基本群がボレル予想およびバーム＝コンヌ予想を満たし、急速減少性を有することを証明すること。

提案手法

• $S$ の近傍で半径関数を用いたワーパード積計量を $M \setminus S$ 上に構成し、リーマン曲率テンソルの明示的計算により曲率を制御する。
• $C^2$-正則化手順を適用して計量の $A$-正則性を保証し、畳み込みと摂動技術を用いて曲率の上限を維持する。
• 【BW04】のワーパード積曲率公式を用い、【Bel】で修正されたものに特に注目し、$h_i(r) = \sqrt{g_r(X_i,X_i)}$ を含む断面曲率項を扱う。
• 構成された計量と境界成分の構造を用いて、グロモフの定義を満たすことで相対的双曲性を証明する。
• 【FJ98】および【Laf02】の結果を適用し、非正曲率の $A$-正則計量がボレル予想およびバーム＝コンヌ予想を意味することを示す。
• $A$-正則計量およびその摂動の理論を用いて、計量が元の計量と $C^1$-近傍にあり、かつ負の曲率を保つように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体積の複素双曲的 $n$-多様体 $M$ から完全測地的 $(n-1)$-部分多様体 $S$ を除いた補完 $M \setminus S$ は、断面曲率 $\leq -1$ の完備で有限体積の計量を有するか？
• RQ2 基本群 $\pi_1(M \setminus S)$ は境界成分の基本群に関して相対的双曲的か？
• RQ3 $n > 1$ の場合、$\pi_1(M \setminus S)$ はどのような代数的および幾何的剛性性質を満たすか？
• RQ4 $M \setminus S$ は、負の曲率を持つ完備な $A$-正則計量を有するか？ その場合、$K$-理論および群の性質にどのような意味があるか？
• RQ5 モストウ型剛性は、$\pi_1(M \setminus S)$ に拡張可能か？

主な発見

• 空間 $M \setminus S$ は、曲率項を制御したワーパード積計量により、断面曲率 $\leq -1$ である完備で有限体積の計量を有する。
• 基本群 $\pi_1(M \setminus S)$ は、非自明で、境界成分の基本群に関して強く相対的双曲的である。
• $n > 1$ の場合、$\pi_1(M \setminus S)$ はモストウ型剛性を満たす：任意の二つのこのような補完間のホモトピー同値は、埋め込み多様体の等長写像に一意に引き上げられる。
• 基本群の外部自己同型群は有限であり、群は共通ホップ的かつ残値双曲的である。
• 基本群はボレル予想およびバーム＝コンヌ予想を満たし、有限な漸近次元をもち、急速減少性を有する。
• もし $M$ がコンパクトであれば、$\pi_1(M \setminus S)$ は双自動的であり、強いティーツ代代替を満たす。