[論文レビュー] Complex Monge-Ampere equations on Hermitian manifolds

Bo Guan, Qun Li|ArXiv.org|Jun 18, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ケーラーでない設定にまで、ヤウとオービンのケーラーにおける複素マソン＝アムペール方程式の結果を拡張し、ヘルミート多様体上の複素マソン＝アムペール方程式について$C^2$推定と存在定理を確立する。一般の曲率条件の下で勾配およびラプラシアン推定を証明し、それらをヘルミート計量空間における測地線方程式の解法に応用することで、ドナルドソンの測地線凸性に関する予想の非ケーラー拡張を確認する。

ABSTRACT

We study complex Monge-Ampere equations on Hermitian manifolds, extending classical existence results of Yau and Aubin in the Kahler case, and those of Caffarelli, Kohn, Nirenberg and Spruck for the Dirichlet problem in $C^n$. As an application we generalize existing results on the Donaldson conjecture on geodesics in the space of Kahler metrics to the Hermitian setting.

研究の動機と目的

• ケーラーからヘルミート多様体への複素マソン＝アムペール方程式の古典的存在定理の拡張。
• 境界付きコンパクトなヘルミート多様体上における、適切な解の$C^2$事前推定の確立。
• 下界解技術を用いて、ヘルミート多様体上の複素マソン＝アムペール方程式のディリクレ問題の解の存在を証明する。
• ドナルドソンのケーラー計量空間における測地線凸性に関する予想をヘルミート設定に一般化する。

提案手法

• ねじれ関連の3次項を制御できる特別な局所座標系を用いて、ヘルミート多様体上の複素マソン＝アムペール方程式の$C^2$推定を導出する。
• 下界解法を適用して、ディリクレ問題の解の存在を証明する。この際、$\omega_{\upsilon} \geq 0$および$(\omega_{\upsilon})^n \geq \psi(z,\underline{u})\omega^n$を満たす下界解$\upsilon$が必要である。
• ヘルミート計量空間における測地線の特定を、$M \times A$ 上の斉次複素マソン＝アムペール方程式の解法に還元する。ここで$A = [0,1] \times \mathbb{S}^1$である。
• ヘルミート計量$\omega$を$\tilde{\omega} = \omega + \frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}|w|^2$により$M \times A$上に持ち上げることで、拡張された方程式を定義する。
• 定理1.5を拡張された方程式に適用し、弱解$\varphi \in C^{1,\alpha}(M \times A)$が存在し、$\Delta\varphi \in L^\infty(M \times A)$を満たすことを証明する。
• 大きな$K$に対して、$\underline{\varphi} = (1-t)\varphi_0 + t\varphi_1 + K(t^2 - t)$を厳密な下界解として構成し、$\tilde{\omega}_{\underline{\varphi}} > 0$および$(\tilde{\omega}_{\underline{\varphi}})^{n+1} \geq 1$を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラーの場合の複素マソン＝アムペール方程式に対する古典的$C^2$推定は、非ゼロのねじれを有するヘルミート多様体へ拡張可能か？
• RQ2 $\psi \geq 0$の退化状況であっても、ヘルミート多様体上の複素マソン＝アムペール方程式のディリクレ問題は、下界解条件のもとで解を有するか？
• RQ3 ドナルドソンのケーラー計量空間における測地線凸性に関する予想は、ヘルミート設定に一般化可能か？
• RQ4 ヘルミート設定における$M \times A$上での斉次複素マソン＝アムペール方程式の解の正則性特性は何か？
• RQ5 測地線方程式の解が$C^{1,1}$正則性を達成するための曲率条件は何か？

主な発見

• 適切な解に対して、$\inf \psi$に依存しない、$\max_{\bar{M}}|\nabla u| \leq C_1(1 + \max_{\partial M}|\nabla u|)$という勾配推定が確立され、ブロッキーとグアンのケーラー結果を拡張する。
• 定数$C_1, C_2$が$|u|_{C^0}$、$\psi$、およびねじれ・曲率などの幾何的データに依存するが、$\inf \psi$には依存しない、ラプラシアン推定$\max_{\bar{M}}\Delta u \leq C_2(1 + \max_{\partial M}\Delta u)$が証明された。
• 下界解$\underline{u} \in C^2(\bar{M})$が存在し、$\omega_{\underline{u}} \geq 0$および$(\omega_{\underline{u}})^n \geq \psi(z,\underline{u})\omega^n$を満たす場合、ディリクレ問題に対する滑らかな解$u \in \mathcal{H} \cap C^\infty(\bar{M})$の存在が確立された。
• 弱解$\varphi \in C^{1,\alpha}(M \times A)$が存在し、$\Delta\varphi \in L^\infty(M \times A)$を満たす。測地線方程式に関して、一意性および回転不変性が成立する。
• 多様体$M$が非負の二重曲率を持つ場合、解$\varphi$は$C^{1,1}(M \times A)$に属する。これはブロッキーの結果をヘルミート設定に拡張する。
• 測地線方程式の解は、$\tilde{\omega}_{\varphi}^{n+1} = 0$およびすべての$w \in A$に対して$\varphi(\cdot, w) \in \mathcal{H}$を満たす。これにより、ドナルドソンの予想の非ケーラー拡張が確認された。