[論文レビュー] Complex Numbers and Normal Operators in Topos Quantum Theory

W. G. Brenna, Cecilia Flori|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、グローテンディークk拡張を用いて実数および複素数の値対象を拡張することで、トポス論的枠組みにおける複素数の量値対象の候補を提示する。これにより、実数および複素数の値対象がアーベル群に変換され、内部的一パラメータ群が定義され、ユニタリな時間発展とトポス量子論論理を統合するトポス版ストーンの定理が証明される。

ABSTRACT

Topos theory has been suggested first by Isham and Butterfield, and then by Isham and Doering, as an alternative mathematical structure within which to formulate physical theories. In particular, it has been used to reformulate standard quantum mechanics in such a way that a novel type of logic is used to represent propositions. In recent years the topic has been considerably progressing with the introduction of probabilities, group and group transformations. In the present paper we will introduce a candidate for the complex quantity value object and analyse its relation to the real quantity value object. By defining the Grothendieck k-extension of these two objects, so as to turn them into abelian groups, it is possible to define internal one parameter groups in a topos. We then use this new definition to construct the topos analogue of the Stone's theorem.

研究の動機と目的

• 量子論における複素数を量値対象として扱うトポス論的枠組みを構築すること。
• グローテンディークk拡張を用いて実数および複素数の量値対象をアーベル群に拡張すること。
• トポス内に内部的一パラメータ群を定義し、連続的対称性をモデル化すること。
• 自己共役作用素とユニタリ一パラメータ群の関係を示す、トポス版のストーンの定理を確立すること。

提案手法

• 実数および複素数の量値対象にグローテンディークk拡張を適用し、アーベル群構造を構成する。
• 拡張された対象を用いて、トポス内に内部的一パラメータ群を定義する。
• トポス論的内部論理を用いて、自己共役作用素および正規作用素を定義する。
• 自己共役作用素がユニタリ一パラメータ群を生成することを示すことで、トポス版のストーンの定理を構成する。
• 既存のトポス量子論論理および確率構造と整合性を保つこと。
• 圏論的構成を用いて、トポス枠組みの内部言語と整合性を維持すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポス量子論における枠組みの中で、複素数はどのように量値対象として表現可能か？
• RQ2 グローテンディークk拡張は、値対象をアーベル群に変換する際に果たす役割は何か？
• RQ3 トポス内で内部的一パラメータ群を定義し、連続的対称性をモデル化できるか？
• RQ4 トポス論的枠組みにおけるストーンの定理の構成は、標準的なヒルベルト空間版とどのように比較できるか？
• RQ5 拡張されたトポス枠組みにおいて、実数および複素数の量値対象の関係は何か？

主な発見

• グローテンディークk拡張により、実数および複素数の量値対象がトポス内でのアーベル群に正しく変換された。
• 拡張された対象を用いて内部的一パラメータ群が定義され、連続的対称性の表現が可能となった。
• 自己共役作用素がユニタリ一パラメータ群を生成することを示す、トポス版のストーンの定理が確立された。
• トポス量子論の論理的および代数的構造、特に命題の内部論理が保持された。
• 複素数の量値対象が実数のそれの自然な拡張であり、一貫した群構造を持つことが示された。
• 本枠組みは、正規作用素およびユニタリな時間発展を、トポス論的設定で適切に表現可能であることが示された。