[論文レビュー] Complex powers of analytic functions and meromorphic renormalization in QFT

Nguyen Viet Dang|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 33被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、解析的Lorentz時空上で摂動的量子場理論におけるFeynman振幅のmeromorphicな正規化を、複素関数の複素冪とHironakaの特異点解消を用いて、厳密な数学的枠組みで確立する。Feynman振幅が線形極を持つmeromorphicな分布族によってモデル化されるホロノミック特異点を持つことを証明し、要因分解と局所性を満たす関手的で共変な正規化写像を構成することで、この設定における正規化可能性の新しい証明を提供する。

ABSTRACT

In this article, we study functional analytic properties of the meromorphic families of distributions $(\prod_{i=1}^p (f_j+i0)^{λ_j})_{(λ_1,\dots,λ_p) \in \mathbb{C}^p}$ using Hironaka's resolution of singularities, then using recent works on the decomposition of meromorphic germs with linear poles, we renormalize products of powers of analytic functions $\prod_{i=1}^p(f_j+i0)^{k_j}, k_j \in \mathbb{Z}$ in the space of distributions. We also study microlocal properties of $(\prod_{i=1}^p (f_j+i0)^{λ_j})_{(λ_1,\dots,λ_p)\in\mathbb{C}^p}$ and $\prod_{i=1}^p (f_j+i0)^{k_j}, k_j \in \mathbb{Z}$. In the second part, we argue that the above families of distributions with \emph{regular holonomic singularities} provide a universal model describing singularities of Feynman amplitudes and give a new proof of renormalizability of quantum field theory on convex analytic Lorentzian spacetimes as applications of ideas from the first part.

研究の動機と目的

• 複素関数の複素冪に$i0$規則を適用した際に生じる分布族の関数解析的基盤を提供すること。
• 微局所解析と特異点解消を用いて、位置空間におけるFeynmanプロパゲーターの積の体系的正規化手順を開発すること。
• すべてのFeynman振幅特異点が線形極を持つmeromorphicな分布とホロノミック特異点によってモデル化されることを示すこと。
• この枠組みを用いて、凸解析的Lorentz時空上での摂動的QFTにおける正規化可能性の新しい証明を確立すること。
• 時空カテゴリの射に関して保存され、要因分解性を満たす関手的で共変な正規化写像を構成すること。

提案手法

• Hironakaの特異点解消を用いて、$\left(\prod_{j=1}^{p}(f_j + i0)^{\lambda_j}\right)_{\lambda \in \mathbb{C}^p}$ およびその波面集合の解析を行う。
• 線形極を持つmeromorphicな局所関数の分解に関する最近の結果を応用し、meromorphicな正規化写像を定義する。
• Iagolnitzerの$\widehat{+}_i$作用素を用いてSobolev空間における積を扱い、$u=0$定理を確立する。
• 線形極を持つmeromorphic関数の空間に、正則関数を介して因数分解することができる射影子$\pi$を導入し、正規化作用素の構成を可能にする。
• 余接バンドル内の錐集合の分割、極化、横断的性質を用いて、分布積の存在と微局所的正則性を保証する。
• 凸解析的Lorentz時空のカテゴリ$\mathbf{M}_{ca}$を定義し、引き戻しの整合性を満たす共変な正規化関手を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位置空間におけるFeynman振幅の特異点は、常に線形極とホロノミック特異点を持つmeromorphicな分布族によって普遍的にモデル化可能か？
• RQ2 複素関数の複素冪を用いて、一般の解析的Lorentz時空上へのEpstein–Glaser正規化プログラムの拡張は可能か？
• RQ3 特異点解消を用いて構成されたmeromorphic正規化写像は、正規化の要因分解性と局所性の公理を満たすか？
• RQ4 正規化手順を時空カテゴリの射に関して関手的に行うことは可能か？
• RQ5 Feynman振幅の波面集合が対角線外で強く凸であるか？その場合、一意な正規化写像の存在が保証されるか？

主な発見

• 分布値関数としてのmeromorphicな族$\left(\prod_{j=1}^{p}(f_j + i0)^{\lambda_j}\right)_{\lambda \in \mathbb{C}^p}$ は、線形極を持つwell-definedなmeromorphic関数として定義可能である。
• 積分布の波面集合は、厳密に極化された錐集合に含まれており、微局所的正則性および積の存在を保証する。
• 射影子$\pi$を用いて構成された正規化写像$\mathcal{R}_{M^n}$ は要因分解性を満たす：$\mathcal{R}_{M^n}(t_n)|_{C_I} = \mathcal{R}_{M^I}(t_I) \mathcal{R}_{M^{I^c}}(t_{I^c}) t_{I,I^c}$。
• 正規化写像は関手的である：任意の射$\Phi: (M',g',G') \to (M,g,G)$に対して、$\mathcal{R}_{(M')^I} \Phi^* t = \Phi^* \mathcal{R}_{M^I} t$ が成り立ち、共変性が保証される。
• 凸解析的Lorentz時空上でのFeynmanプロパゲーターは対角線上にホロノミック特異点を持ち、そのmeromorphic正則化により、well-definedで局所的に有限な正規化が得られる。
• 正規化写像は一意的であり、計量$g$とSyngeの世界関数$\Gamma$にのみ依存するため、その幾何的自然性が確認される。