[論文レビュー] Renormalization of quantum field theory on curved space-times, a causal approach

Nguyen Viet Dang|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 57被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、微局所解析とリエス正則化を用いて、曲がった時空上の量子場理論における因果的正則化枠組みを構築する。正則化された時間順序積はUVカットオフの対数スケールで変化し、発散は局所的補正項によって記述され、スケーリング変換の下での一貫性を保証する有限次数の消失を示す正則化群フロー方程式が証明される。

ABSTRACT

The subject of the thesis is the construction of a perturbative quantum theory of interacting fields on a curved space-time, following a point of view pioneered by Stueckelberg and Bogoliubov and developed by Epstein-Glaser on the flat Minkowski space-time. In 2000, a breakthrough was done by Brunetti and Fredenhagen who were able to extend the Epstein-Glaser theory by exploiting the point of view developed by Radzikowski to define quantum states on a curved space-time in terms of wave-front sets. These results were further extended by Fredenhagen, Brunetti, Hollands, Wald, Rejzner, etc. to Yang-Mills fields and the gravitation. However, even for theories without gauge invariance, many mathematical details were left unexplored and unquestioned. Our task was precisely to derive fully rigorously this theory in the case there is no gauge invariance. We propose in our work a complete review of the result, solving numerous questions, adding many new results around this program and, eventually, giving more precise details on the counterterms and ambiguities in the renormalization process, and a deeper understanding of the geometry of the wave front set of the n-point functions.

研究の動機と目的

• 因果的摂動理論を用いて、曲がった時空上の量子場理論に対して数学的に厳密な正則化手順を提供すること。
• 分布の特異性を制御するための微局所的技術を用いて、時間順序積の特異性を拡張することで、特異性の問題を解決すること。
• スケーリング変換の下で一貫性を持つ、リエス正則化された時間順序積の正則化群フローを確立すること。
• 正則化された振幅の発散部分が局所的補正項であり、log ℓ の多項式的依存性を示すこと。
• 残留項の高階導関数が消えることを証明し、スケーリング変更の下での正則化手順の安定性を保証すること。

提案手法

• 特異性が対角線 I ⊂ M² に沿って発生する分布を拡張するために、微局所解析を用い、波面集合と共法線性を用いて特異性を制御する。
• カットオフ関数 χ_ℓ を用いて定義されるリエス正則化作用素 R^ℓ_Riesz を導入し、ℓ → ∞ のとき特異性が対角線に局在化することを保証する。
• 同次分布への作用を導くために、オイラーベクトル場 ρ 及びそのカットオフのスケーリングへの作用を用い、カットオフのスケーリング変換におけるスケーリング性を導出する。
• 主な式 ℓ d/dℓ R^ℓ T = Res_ρ[T](ℓ) を導出し、正則化作用素が残留項を介してスケーリング変更に従って変化することを示す。
• 問題を同次成分に還元するため、T = ∑ T_j と分解し、(ρ - Ω - j)T_j = 0 を満たす。
• T^μ,ℓ のローラン級数展開を分析することで正則化群フローを導出し、係数の進化を ℓ d/dℓ T^k,ℓ = T^{k-1},ℓ で特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間順序積が対角線に沿って特異的である場合、曲がった時空上の量子場理論における正則化をどのように一貫的に実行できるか。
• RQ2 UVカットオフ ℓ の変更に伴って、正則化された時間順序積のスケーリング性はどのように変化するか。
• RQ3 振幅の発散部分は、正則化プロセスにおいてどのように局所的補正項に関連しているか。
• RQ4 リエス正則化された振幅の正則化群フローの構造は何か。
• RQ5 なぜ (ℓ d/dℓ)^n+1 行列の正則化作用素の導関数が消えるのか。これは正則化の一貫性にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 正則化された時間順序積 R^ℓ_Riesz T は、log ℓ の次数 n の多項式としてスケーリングし、係数は局所的補正項で与えられる。
• 残留作用素 Res_ρ[T](ℓ) は (ℓ d/dℓ)^n Res_ρ[T](ℓ) = 0 を満たし、正則化作用素が log ℓ の次数 n の多項式であることを示唆する。
• 正則化群フローは ℓ d/dℓ R^ℓ T = Res_ρ[T](ℓ) で支配され、正則化された振幅がスケーリング変更に従ってどのように進化するかを示す。
• 振幅の発散部分は、k < 0 のためのローラン係数 T^k,ℓ で記述され、ℓ d/dℓ T^k,ℓ = T^{k-1},ℓ によって進化する。
• リエス正則化手順は微分同相写像による引き戻しに対して安定であり、滑らかな関数との積に対しても有界であるため、滑らかな座標変換の下で一貫性が保証される。
• フェルミオン振幅の波面集合の前進がラグランジュ的であることが示され、ダニエル・ベンヌインの予想が裏付けられる。