[論文レビュー] Complexity Analysis of Reversible Logic Synthesis

Anupam Chattopadhyay, Chander Chandak+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、逆転可能論理合成の計算複雑性を分析し、制限付きアーキテクチャ（bounded-ancilla）合成がNP困難であることを確立するとともに、アーキテクチャフリー合成がコスト制約付きソーティング問題に関連していることを示している。短経路定式化と(0-1)整数線形プログラミング（ILP）モデルを提案し、短経路法が3変数関数のすべての最適合成を数分以内に達成できるのに対し、ILPは実行時間が著しく長くなるためスケーリングに失敗することを示している。

ABSTRACT

Reversible logic circuit is a necessary construction for achieving ultra low power dissipation as well as for prominent post-CMOS computing technologies such as Quantum computing. Consequently automatic synthesis of a Boolean function using elementary reversible logic gates has received significant research attention in recent times, creating the domain of reversible logic synthesis. In this paper, we study the complexity of reversible logic synthesis. The problem is separately studied for bounded-ancilla and ancilla-free optimal synthesis approaches. The computational complexity for both cases are linked to known/presumed hard problems. Finally, experiments are performed with a shortest-path based reversible logic synthesis approach and a (0-1) ILP-based formulation.

研究の動機と目的

• 制限付きアーキテクチャ（bounded-ancilla）およびアーキテクチャフリー（ancilla-free）制約下における逆転可能論理合成の計算複雑性を分析すること。
• 既知または仮定された難問と関連付けることで、最適逆転可能回路合成の理論的難易度を調査すること。
• 短経路法と(0-1)整数線形プログラミング（ILP）の2つの正確な定式化手法を評価・比較すること。
• 短経路法を用いて3変数逆転可能ブール関数の包括的最適結果を生成すること。
• より大きな回路におけるスケーラビリティのボトルネックと今後の研究方向性を同定すること。

提案手法

• ノードがブール関数の状態を表し、エッジが逆転可能ゲートの適用を表す状態空間内で、逆転可能論理合成を最短経路問題としてモデル化する。
• 各ノードがブール関数の真理値表またはANF表現に対応する状態空間グラフを用いる。エッジはゲート操作（例：CNOT、Toffoli）に対応する。
• 動的計画法と経路探索を用いて、恒等関数から目的関数へのすべての可能なゲート列を探索し、量子コストを最小化する。
• 変数がゲートの使用を表し、制約が関数の正しさとゲートの順序を満たすように、合成問題を(0-1)整数線形プログラミング（ILP）として定式化する。
• 正負の制御ライン（表記では '+' と '-' を使用）をサポートし、柔軟なゲート表現を可能にする。
• CPLEXを用い、解探索時間の制限のためIntSolLim=1を設定しているが、これにより大きなインスタンスでは最適性ギャップが著しく大きくなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付きアーキテクチャ（bounded-ancilla）の逆転可能論理合成問題は計算的に困難であり、もしそうであれば、どの計算複雑性クラスに属するか？
• RQ2 アーキテクチャフリーの逆転可能論理合成の計算複雑性は何か？ また、既知の組合せ最適化問題とどのように関連しているか？
• RQ3 短経路定式化は、実用的な時間内に小規模な逆転可能回路（例：3変数関数）に対して最適な結果を達成できるか？
• RQ4 正確な定式化である(0-1)ILPは、なぜ小規模回路を越えてスケーリングに失敗するのか？
• RQ5 メモリ集約的な全探索と経路探索ベースの手法の間のトレードオフは何か？

主な発見

• 制限付きアーキテクチャ（bounded-ancilla）の逆転可能論理合成はNP困難であることが証明され、既知の組合せ最適化難問と関連づけられた。
• アーキテクチャフリーの逆転可能論理合成は、コスト制約付き転置によるソーティング問題と同等であることが示され、その計算複雑性は未解決のままである。
• 短経路定式化は、3変数逆転可能関数のすべてについて、1分未満で最適ゲート数と量子コストを計算可能である。
• NCTFゲートファミリーにおいて、平均量子コストは10.52、平均ゲート数は4.34であり、すべての最適値が達成された。
• (0-1)ILP定式化は、IntSolLim=1でさえも、実行時間が著しく長く、最適性ギャップが大きいため、最適解を十分な時間内に得られない。
• 短経路法は3変数関数に対しては効果的にスケーリング可能であるが、4変数以上の大規模回路では、状態空間の指数的増加によりスケーラビリティのボトルネックに直面する。