[論文レビュー] Complexity measures in QFT and constrained geometric actions

Pablo Bueno, Javier M. Magán+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 66被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、QFTにおける量子複雑性の厳密な幾何学的枠組みを確立し、どのコスト関数が回路複雑性の有効な下界を与えるかを特定する。非一様なコスト関数はLloydの下界を破るが、ヒルベルト空間の計量から導かれる標準的な複雑性測度は、キリロフの共伴軌道作用と量子作用のハミルトニアン＝ジャコビ解析を通じて関連づけられ、古典的・量子的系における複雑性とカオスの統一的記述を提供する。

ABSTRACT

We study the conditions under which, given a generic quantum system, complexity metrics provide actual lower bounds to the circuit complexity associated to a set of quantum gates. Inhomogeneous cost functions ---many examples of which have been recently proposed in the literature--- are ruled out by our analysis. Such measures are shown to be unrelated to circuit complexity in general and to produce severe violations of Lloyd's bound in simple situations. Among the metrics which do provide lower bounds, the idea is to select those which produce the tightest possible ones. This establishes a hierarchy of cost functions and considerably reduces the list of candidate complexity measures. In particular, the criterion suggests a canonical way of dealing with penalties, consisting in assigning infinite costs to directions not belonging to the gate set. We discuss how this can be implemented through the use of Lagrange multipliers. We argue that one of the surviving cost functions defines a particularly canonical notion in the sense that: i) it straightforwardly follows from the standard Hermitian metric in Hilbert space; ii) its associated complexity functional is closely related to Kirillov's coadjoint orbit action, providing an explicit realization of the ``complexity equals action'' idea; iii) it arises from a Hamilton-Jacobi analysis of the ``quantum action'' describing quantum dynamics in the phase space canonically associated to every Hilbert space. Finally, we explain how these structures provide a natural framework for characterizing chaos in classical and quantum systems on an equal footing, find the minimal geodesic connecting two nearby trajectories, and describe how complexity measures are sensitive to Lyapunov exponents.

研究の動機と目的

• QFTにおけるどの複雑性測度が回路複雑性の有効な下界を与えるかを特定すること。
• Lloydの下界を破り、物理的複雑性と関連しない非一様コスト関数を除外すること。
• 最もタイトな下界を与えるコスト関数の階層を確立すること。
• 標準ヒルベルト空間計量から生じる標準的複雑性関数を特定し、幾何的作用および「複雑性＝作用」原理との関連を示すこと。
• 幾何的・シンプレクティック構造を用いて、古典的および量子系における複雑性とカオスの記述を統一すること。

提案手法

• 連続プロトコルと即時ハミルトニアンを用いて、ユニタリ群多様体上の測地線長として回路複雑性を分析する。
• ユニタリ変換のバナッハ＝リー群構造を適用し、複雑性の幾何的枠組みを定義する。
• コスト関数が複雑性の有効な下界を与えることを保証するための$\nabla$-バウンディング条件を導入する。
• ゲート集合外の方向に対して無限大のペナルティを課すためにラグランジュ乗数を用い、コスト関数の制約を強制する。
• ヒルベルト空間内積から導かれる標準的複雑性関数$F_{\braket{H^{2}}}$を導出し、それがキリロフの共伴軌道作用と等価であることを示す。
• 量子作用のハミルトニアン＝ジャコビ解析を実施し、標準的複雑性測度が半古典的極限において自然に出現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子場理論におけるどのコスト関数が回路複雑性の有効な下界を与えるか？
• RQ2 非一様コスト関数はなぜ物理的複雑性と関連せず、Lloydの下界を破るのか？
• RQ3 幾何的および群論的原理を用いて、妥当な候補の中から一意に選ばれる標準的複雑性関数は何か？
• RQ4 標準的複雑性関数とキリロフの共伴軌道作用との関連は何か？
• RQ5 幾何的複雑性枠組みは、古典的および量子系における複雑性とカオスの記述をどのように統一するか？

主な発見

• 非一様コスト関数は、単純な系ですらLloydの下界を破るため、除外される。また、回路複雑性の意味のある下界を提供しない。
• 標準的複雑性測度$F_{\braket{H^{2}}}$は、標準ヒルベルト空間計量から直接導かれ、最もタイトな下界を与える。
• この標準的関数はキリロフの共伴軌道作用と等価であり、「複雑性＝作用」予想の直接的実現を確立する。
• 複雑性関数は、量子作用のハミルトニアン＝ジャコビ解析から自然に出現し、量子力学的ダイナミクスの半古典的極限と関連づけられる。
• この枠組みは、近接する軌道間の最小測地線を通じてリヤプノフ指数に敏感な複雑性測度を伴い、複雑性とカオスの統一的幾何的記述を提供する。
• 非ゲート方向に対して無限大のコストを割り当てるラグランジュ乗数の使用は、ゲート集合の制約を一意的かつ物理的に整合的に強制する方法を提供する。