[論文レビュー] Complexity of Combinatorial Market Makers

Yiling Chen, Lance Fortnow+3 more|ArXiv.org|Feb 11, 2008

Sports Analytics and Performance参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ハンソンの対数的市場スコアルール（LMSR）を用いた組み合わせ的予測市場における価格設定と支払い計算が、非常に制限されたベッティング言語—例えば順列市場における部分集合ベットやペアベット、および二値事象における論理結合—でさえも#P困難であることを示している。この計算困難性にもかかわらず、著者らはオンライン学習におけるエキスパートアドバイスを用いた近似アルゴリズムを設計し、極限において市場マーケットメイカーの最悪ケース損失が $ b \ln(n!) $ に有界であることを証明した。これは、完全市場におけるLMSRの理論的上限と一致しており、価格の一貫性を保証している。

ABSTRACT

We analyze the computational complexity of market maker pricing algorithms for combinatorial prediction markets. We focus on Hanson's popular logarithmic market scoring rule market maker (LMSR). Our goal is to implicitly maintain correct LMSR prices across an exponentially large outcome space. We examine both permutation combinatorics, where outcomes are permutations of objects, and Boolean combinatorics, where outcomes are combinations of binary events. We look at three restrictive languages that limit what traders can bet on. Even with severely limited languages, we find that LMSR pricing is $\SP$-hard, even when the same language admits polynomial-time matching without the market maker. We then propose an approximation technique for pricing permutation markets based on a recent algorithm for online permutation learning. The connections we draw between LMSR pricing and the vast literature on online learning with expert advice may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 指数的Outcome空間を有する組み合わせ的予測市場におけるLMSR価格設定の計算複雑性を分析すること。
• 制限付きベッティング言語（例：順列市場における部分集合またはペアベット、二値事象における論理結合）がLMSR価格設定の実行可能性を高めうるかを調査すること。
• 順列市場におけるLMSR価格設定の近似アルゴリズムを設計し、最悪ケース損失が有界であることを保証すること。
• LMSR価格設定とオンライン学習におけるエキスパートアドバイスとの間の明確な理論的関係を確立すること。

提案手法

• 著者らは、制限付きベッティング言語下での順列市場および論理的組み合わせ的市場におけるLMSR価格設定と支払い計算の#P困難性を証明した。
• 彼らは、大規模な取引を小さなインクリメント $ \epsilon $ に分割する部分集合ベット近似アルゴリズムを提案し、各パーミュテーションごとに指数的重み付けを用いて価格行列を更新した。
• この手法は、オンライン学習におけるエキスパートアドバイスの技術を活用し、各パーミュテーションをエキスパートとしてモデル化し、取引結果に基づいて重みを更新した。
• 重要な要素として、学習速度と価格の正確性のトレードオフを制御する正則化パrameter $ \eta = 2\epsilon / b $ の使用が挙げられる。
• アルゴリズムは、$ \epsilon \to 0 $ の極限において、総損失が $ b \ln(n!) $ に有界であることを保証しており、これは完全LMSRの理論的最悪ケース損失と一致する。
• 理論的境界は、レグレット最小化と凸解析を用いて導出され、最終的な損失境界は $ \frac{\eta}{1 - e^{-\eta}} b n \ln n + \left( \frac{\eta}{1 - e^{-\eta}} - 1 \right) 2\epsilon n T $ として表された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 取引者が単純なベット、例えば「候補者 i が順位 j に到達する」といったものに制限された場合、LMSR価格設定は計算的に実行可能か？
• RQ2 順列市場におけるLMSRの近似アルゴリズムは、最悪ケース損失が有界であると同時に価格の一貫性を維持できるか？
• RQ3 LMSR価格設定とオンライン学習におけるエキスパートアドバイスとの間にはどのような関係があるか？
• RQ4 同じベットに対してマッチング問題が多項式時間で解ける場合でも、LMSR価格設定の計算困難性は依然として継続するか？

主な発見

• LMSR価格設定と支払い計算は、順列市場および論理的組み合わせ的市場の両方で、部分集合ベットやペアベットなどの極めて制限されたベッティング言語下でも#P困難である。
• 順列市場における部分集合ベットの近似アルゴリズムは、$ \epsilon \to 0 $ の極限において、最悪ケース損失が $ b \ln(n!) $ に有界であることを保証しており、これは完全市場LMSRの損失と一致する。
• このアルゴリズムは、各パーミュテーション間で一貫性のある価格を維持しているが、各順位ごとに別々の市場を設ける方法とは異なり、価格の一貫性のリスクを回避している。
• 損失境界は、各順位に対して $ n $ 個の別個のLMSRを運用する場合と同等のものであるが、近似によりグローバルな価格の一貫性が保証されている。
• 理論的分析により、近似アルゴリズムのレグレットは $ O(\epsilon n T) $ のスケーリングを示し、$ \epsilon \to 0 $ の際に損失ギャップが縮小することが分かった。
• 本論文は、LMSR価格設定とオンライン学習におけるエキスパートアドバイスとの間で明確かつ有用な関係を確立し、エキスパート学習手法が自動市場マーケットメイカーへの応用可能性を示唆している。