[論文レビュー] Complexity of Non-Monotonic Logics

Michael E. Thomas, Heribert Vollmer|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ポストのブール関数の格子を用いて、命題的断片（default logic, autoepistemic logic, circumscription）における非単調論理の計算複雑性を包括的に分析する。主な貢献は、誘導と説明数え上げの計算複雑性の完全分類であり、関連するブール関数のクラスターに応じて、PからNP完全、Σ₂^p完全まで複雑性が変動することを示しており、特定の容易なクラスターに制限した場合に二分法が成立することを明らかにしている。

ABSTRACT

Over the past few decades, non-monotonic reasoning has developed to be one of the most important topics in computational logic and artificial intelligence. Different ways to introduce non-monotonic aspects to classical logic have been considered, e.g., extension with default rules, extension with modal belief operators, or modification of the semantics. In this survey we consider a logical formalism from each of the above possibilities, namely Reiter's default logic, Moore's autoepistemic logic and McCarthy's circumscription. Additionally, we consider abduction, where one is not interested in inferences from a given knowledge base but in computing possible explanations for an observation with respect to a given knowledge base. Complexity results for different reasoning tasks for propositional variants of these logics have been studied already in the nineties. In recent years, however, a renewed interest in complexity issues can be observed. One current focal approach is to consider parameterized problems and identify reasonable parameters that allow for FPT algorithms. In another approach, the emphasis lies on identifying fragments, i.e., restriction of the logical language, that allow more efficient algorithms for the most important reasoning tasks. In this survey we focus on this second aspect. We describe complexity results for fragments of logical languages obtained by either restricting the allowed set of operators (e.g., forbidding negations one might consider only monotone formulae) or by considering only formulae in conjunctive normal form but with generalized clause types. The algorithmic problems we consider are suitable variants of satisfiability and implication in each of the logics, but also counting problems, where one is not only interested in the existence of certain objects (e.g., models of a formula) but asks for their number.

研究の動機と目的

• 非単調論理（例：default logic, autoepistemic logic, circumscription）における推論タスクの計算複雑性を体系的に分類すること。
• 論理言語の制限（ポストのブール関数の格子を介して）が、充足可能性、含意、誘導といった主要問題の複雑性に与える影響を分析すること。
• 利用可能なブール関数のクラスターをパrameterとする命題的誘導における説明の存在および数え上げ問題の複雑性を完全に分類すること。
• 特にアフィン的および双対ホーン的断片における数え上げ複雑性の未解決事項を解消し、観察の表現方法（節、項、論理式）が複雑性の変化に与える役割を明確にすること。

提案手法

• 研究は、すべての有限なブール関数の集合（クラスター）を分類するためのポストの格子を用い、閉包作用素[·]を用いて表現力と複雑性の階層を定義する。
• デフォルト論理、自己認識論理、および循環的記述の命題的変種における推論問題（充足可能性、含意、誘導）を、クラスターに基づく枠組みで分析する。
• 誘導問題に関しては、観察の3通りの表現（節、項、B論理式）を検討し、それらが複雑性に与える影響を評価する。
• 数え上げ問題は減算還元を用いて分析され、全説明と部分集合最小の説明（優先順位関係下）の区別がなされる。
• P、NP、Σ₂^p、#P、#·coNPといった既知の複雑性クラスを用い、還元を用いて完全性の結果を証明する。
• クラスターの構造的性質（例：単調性、双対性、アフィン性）を活用して、複雑性における二分法や三分法を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 知識ベースと観察が、与えられた有限集合Bの関数のみで表現される命題的誘導において、説明の存在問題の複雑性は何か？
• RQ2 観察が節、項、またはB論理式として表現される場合に、誘導問題の複雑性はどのように変化するか？
• RQ3 誘導における全説明および部分集合最小の説明の数え上げ複雑性は、クラスター[B]に応じてどのように変化するか？
• RQ4 説明数え上げの複雑性が#·coNPから#P、さらにはFPにまで低下するのはどのような条件下か？
• RQ5 知識ベースがアフィン的関係に制限された場合、説明数え上げの複雑性に二分法が成立するか？

主な発見

• 説明の存在問題は、[B]がS₀₂、S₁₂、またはD₁を含む場合Σ₂^p完全である。[B]がMに属しS₀₀またはS₁₀を含む場合NP完全である。[B]がE、V、またはLに属する場合Pに属する。
• 観察を項に緩和すると複雑性が上昇する。[B ∪ {0,1}] = Vの場合、問題はΣ₂^p完全からNP完全に変化する。
• 観察がB論理式として形式化される場合、分類は二分法的になる：[B]がE、V、またはLより上にある場合Σ₂^p完全、それ以外は容易となる。
• 説明数え上げ問題は、[B]がS₀₂、S₁₂、またはD₁を含む場合#·coNP完全である。[B] ⊆ MでS₀₀、S₁₀、またはD₂を含む場合#P完全である。それ以外はFPに属する。
• 正のリテラル説明に関しては、[B] ⊆ V₂のとき問題はFPに属する。[B] ⊆ L₂のときのみ#Pに属することが知られている。
• アフィン的関係の未解決事項は依然として残っており、[B] ⊆ アフィンの場合の説明数え上げの複雑性は未だ不明であるが、FPに属すると予想されている。