[論文レビュー] Composition-Diamond lemma for associative $n$-conformal algebras

L. A. Bokut, Yuqun Chen+1 more|ArXiv.org|Mar 5, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特性 0 の体上の自由な結合的 $n$- conformal 代数に対して、Composition-Diamond Lemma を確立し、この代数的構造における Gröbner-Shirshov 基の構築の理論的基盤を提供する。主な貢献は、還元アルゴリズムの開発と Composition-Diamond Lemma の証明であり、これにより定義関係を用いた Lie $n$-conformal 代数の線形基底の構成が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we study the concept of associative $n$-conformal algebra over a field of characteristic 0 and establish Composition-Diamond lemma for a free associative $n$-conformal algebra. As an application, we construct Gröbner-Shirshov bases for Lie $n$-conformal algebras presented by generators and defining relations.

研究の動機と目的

• 結合的 $n$-conformal 代数における Gröbner-Shirshov 基理論の構築を目的とする。
• Shirshov の Composition-Diamond Lemma を結合的 $n$-conformal 代数の設定に一般化することを目的とする。
• 理論を用いて、生成元と関係式によって提示される Lie $n$-conformal 代数の線形基底を構築することを目的とする。
• 特定の定義関係の集合が、単語問題の可解性を保証する Gröbner-Shirshov 基をなすことを証明することを目的とする。

提案手法

• 古典的な Composition-Diamond Lemma を結合的代数から結合的 $n$-conformal 代数の設定に適応する。
• 関係の合成を $ (f,g)_w = fb - ag $ と定義する。ここで $ ar{f} = ac $、$ ar{g} = cd $、$ w = acb $ であり、$ c \neq \emptyset $ である。
• 還元プロセスの終了を保証するため、conformal 単語の自由モノイドに良い順序を導入する。
• $ S $-可約でない正規単語の概念を用いて、商代数の線形基底を構成する。
• すべての合成（還元後）が自明であるならば、その集合が Gröbner-Shirshov 基であることを証明する。
• 理論をループ Lie $n$-conformal 代数に適用し、定義関係が Gröbner-Shirshov 基をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由な結合的 $n$-conformal 代数に対して Composition-Diamond Lemma を確立できるか？
• RQ2 結合的 $n$-conformal 代数において、定義関係の集合がいつ Gröbner-Shirshov 基となるか？
• RQ3 Gröbner-Shirshov 基は、どのようにして Lie $n$-conformal 代数の線形基底を構築するために用いられるか？
• RQ4 ループ Lie $n$-conformal 代数の定義関係は、普遍包絡結合的 $n$-conformal 代数において Gröbner-Shirshov 基であるか？

主な発見

• 結合的 $n$-conformal 代数において Composition-Diamond Lemma が成立し、任意のイデアルに対して Gröbner-Shirshov 基が存在することが保証される。
• 集合 $ S = \{ f, g, h, p, q, s \} $ は、与えられた結合的 $n$-conformal 代数において Gröbner-Shirshov 基をなす。すべての合成が 0 に還元されるからである。
• $ S $-可約でない正規単語は、商代数の線形基底をなす。具体的には、$[a\langle 1,0\rangle a]$、$[a\langle 0,1\rangle a]$、$[a\langle 1,1\rangle a]$、$[a\langle 1,0\rangle a\langle 1,1\rangle a]$、$[a\langle 0,1\rangle a\langle 1,1\rangle a]$、および $[(a\langle 1,0\rangle a\langle 0,1\rangle)^k a]$、$[(a\langle 0,1\rangle a\langle 1,0\rangle)^l a] $（$ k,l \geq 1 $）として明示的に列挙される。
• ループ Lie $n$-conformal 代数に対して、集合 $ S = \{ a_i\langle 0,0\rangle a_j - a_j\langle 0,0\rangle a_i - [a_i a_j] \mid i > j \} $ は、普遍包絡結合的 $n$-conformal 代数において Gröbner-Shirshov 基である。
• 定義集合 $ S $ の要素同士のすべての合成は、還元後に自明であるため、$ S $ は合成に関して閉じており、したがって Gröbner-Shirshov 基であることが確認される。
• 理論により、$ S $-可約でない単語への還元によって、結合的 $n$-conformal 代数における単語問題が解けることが可能になる。