[論文レビュー] Composition theorems in communication complexity

Troy Lee, Shengyu Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、$F(x,y) = f(g(x,y))$ の形をした合成関数の量子通信複雑性を分析するための群に基づくフレームワークを導入することで、通信複雑性における合成定理を一般化する。ここで $g$ は群 $G$ に値をとる。群不変性条件という、シェルストフの強平衡条件を一般化し、シ・チウのスペクトル不一致要件を緩和する条件のもとで、$f$ の近似次数に基づく量子通信複雑性の下界を確立する。

ABSTRACT

A well-studied class of functions in communication complexity are composed functions of the form $(f \comp g^n)(x,y)=f(g(x^1, y^1),..., g(x^n,y^n))$. This is a rich family of functions which encompasses many of the important examples in the literature. It is thus of great interest to understand what properties of $f$ and $g$ affect the communication complexity of $(f \comp g^n)$, and in what way. Recently, Sherstov \cite{She09b} and independently Shi-Zhu \cite{SZ09b} developed conditions on the inner function $g$ which imply that the quantum communication complexity of $f \comp g^n$ is at least the approximate polynomial degree of $f$. We generalize both of these frameworks. We show that the pattern matrix framework of Sherstov works whenever the inner function $g$ is {\em strongly balanced}---we say that $g: X imes Y o \{-1,+1\}$ is strongly balanced if all rows and columns in the matrix $M_g=[g(x,y)]_{x,y}$ sum to zero. This result strictly generalizes the pattern matrix framework of Sherstov \cite{She09b}, which has been a very useful idea in a variety of settings \cite{She08b,RS08,Cha07,LS09,CA08,BHN09}. Shi-Zhu require that the inner function $g$ has small {\em spectral discrepancy}, a somewhat awkward condition to verify. We relax this to the usual notion of discrepancy. We also enhance the framework of composed functions studied so far by considering functions $F(x,y) = f(g(x,y))$, where the range of $g$ is a group $G$. When $G$ is Abelian, the analogue of the strongly balanced condition becomes a simple group invariance property of $g$. We are able to formulate a general lower bound on $F$ whenever $g$ satisfies this property.

研究の動機と目的

• 通信複雑性における既存の合成定理を、ブール関数に限定された場合にとどまらない一般化すること。
• シェルストフ（パターン行列）とシ・チウ（スペクトル不一致）の枠組みを統合・一般化し、量子通信複雑性を評価するためのフレームワークを構築すること。
• 内部関数 $g$ が任意の群 $G$ に値をとる群論的フレームワークを導入し、より広範なクラスの合成関数を分析可能にする。
• シ・チウの複雑なスペクトル不一致条件を、強平衡を一般化するより単純で自然な群不変性条件に置き換えること。
• この新しい条件のもとで、$f \circ g^n$ の量子通信複雑性の一般下界を、$f$ の近似次数に基づいて確立すること。

提案手法

• 内部関数 $g: X \times Y \to G$ が有限群 $G$ に値をとる合成関数 $F(x,y) = f(g(x,y))$ の一般フレームワークを導入し、ブールの場合を一般化する。
• シェルストフの強平衡条件を一般化する群不変性条件を定義：多集合 $S^{x,x'}$ および $T^{y,y'}$ が群作用に関して不変であること。
• 有限群の表現理論、特に既約キャラクターを用いて、$F$ の通信行列を分解する。
• 行列表現のテンソル積構造を用い、キャラクター行列の $\ell^2$-ノルムによって量子通信複雑性を評価する。
• 量子通信複雑性 $Q(A)$ の下界を、$S$ が $\deg_{1/3}(f)$ を超えるサイズをもつことから、$\sum_{i \in S} \log_2 \frac{\sqrt{\mathrm{size}(M_{g_i})}}{\deg(\chi_i) \|M_{\chi_i \circ g_i}\|}$ の形で導出する。
• アーベル群の場合、群不変性条件は $G = \mathbb{Z}_2^t$ のとき標準的な強平衡条件に還元され、従来の結果を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シェルストフのパターン行列フレームワークは、ブール関数に限定されず、群値をとる内部関数へ一般化可能か？
• RQ2 シ・チウが量子通信複雑性の下界を求めるために要請するスペクトル不一致条件は、より単純で自然な代替条件を有するか？
• RQ3 内部関数 $g$ にどのような群論的条件を課すと、$f \circ g^n$ の量子通信複雑性が $f$ の近似次数によって下から抑えられるか？
• RQ4 内部関数 $g$ が積群 $G_1 \times \cdots \times G_t$ に値をとるとき、$f \circ g^n$ の通信行列の構造はどのように分解されるか？
• RQ5 群不変性条件が、$f \circ g^n$ の量子複雑性が $f$ の近似次数以上であることを示すために、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 本稿は、シェルストフのパターン行列フレームワークを群値をとる内部関数へ一般化し、$g$ が群不変性条件を満たす限り、$f \circ g^n$ の量子通信複雑性が $f$ の近似次数以上であることを示した。
• 群不変性条件は強平衡条件を一般化する：$G = \mathbb{Z}_2^t$ のとき、各 $g_i$ が強平衡であることと同値である。
• 本フレームワークは、シ・チウのスペクトル不一致条件を、より単純で自然な群不変性条件に置き換え、実用的な検証を容易にした。
• アーベル群の場合、量子通信複雑性の下界は $Q(A) \geq \min_{S, \{\chi_i\}} \sum_{i \in S} \log_2 \frac{\sqrt{\mathrm{size}(M_{g_i})}}{\deg(\chi_i) \|M_{\chi_i \circ g_i}\|} - O(1)$ と表され、$S$ は $|S| > \deg_{1/3}(f)$ を満たすインデックス集合を走る。
• 本フレームワークは任意の有限群 $G_i$ に適用可能であり、積群の場合への一般化が可能で、量子複雑性の下界は $g_i$ の表現論的構造に依存する。
• 本結果は、群不変性条件のもとで、$f$ の近似次数が $f \circ g^n$ の量子通信複雑性の下界であることを示しており、対称関数や内積関数に対する既知の結果を拡張する。