[論文レビュー] Compressed Sensing from Phaseless Gaussian Measurements via Linear Programming in the Natural Parameter Space

Paul Hand, Vladislav Voroninski|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、自然パrameter空間における位相なしガウス測定からの圧縮センシングのための線形計画法であるSparsePhaseMaxを提案する。初期化が$k$-スパース信号と相関を持つ場合、高確率でグローバル符号を除き信号を回復でき、$O(k\log(n/k))$の測定数で実現可能であり、この設定で初めて最適なサンプル複雑度を達成する。

ABSTRACT

We consider faithfully combining phase retrieval with classical compressed sensing. Inspired by the recent novel formulation for phase retrieval called PhaseMax, we present and analyze SparsePhaseMax, a linear program for phaseless compressed sensing in the natural parameter space. We establish that when provided with an initialization that correlates with an arbitrary $k$-sparse $n$-vector, SparsePhaseMax recovers this vector up to global sign with high probability from $O(k \log \frac{n}{k})$ magnitude measurements against i.i.d. Gaussian random vectors. Our proof of this fact exploits a curious newfound connection between phaseless and 1-bit compressed sensing. This is the first result to establish bootstrapped compressed sensing from phaseless Gaussian measurements under optimal sample complexity.

研究の動機と目的

• 位相なし測定からのスパース信号の回復という、一般的な位相なし圧縮センシングの課題に取り組む。
• 従来の凸リフト法（例：PhaseLift）の高いサンプル複雑度を回避する計算効率の良い手法を開発する。
• 位相なし圧縮センシングの枠組みにおいて、最適なサンプル複雑度での信号回復の理論的保証を確立する。
• 情報理論的限界と実用的アルゴリズムのギャップを埋めるために、$O(k\\log(n/k))$の測定数で回復を証明する。
• 自然パrameter空間における線形計画法が、相関のある初期化と組み合わせることで最適性能を達成できることを示す。

提案手法

• 測定された位相なし観測値に基づく制約を課しつつ、初期化ベクトル$\phi$と相関の高い内積を最大化する線形計画法であるSparsePhaseMaxを提案する。
• 解のスパarsityを促進するために、パrameter$\lambda$を用いた$\ell_1$正則化を用い、初期化との整合性と測定値の境界への適合のバランスを取る。
• 各測定ベクトル$a_i$に対して、$-|\langle a_i, x_0\rangle| \leq \langle a_i, x\rangle \leq |\langle a_i, x_0\rangle|$という制約を課し、解が位相なし観測と整合することを保証する。
• 位相なし圧縮センシングと1ビット圧縮センシングの新しい関係を活用し、確率的回復保証を導出する。
• 双対性の議論を通じて回復条件を分析し、真の信号からの唯一の実行可能方向$h$がゼロでなければならないことを示し、一意性を示す。
• 集中不等式と確率的行列理論を用いて失敗確率の上限を評価し、提示されたサンプル複雑度下で高確率での回復を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然パrameter空間における線形計画法は、位相なし圧縮センシングのスパース信号に対して最適なサンプル複雑度を達成できるか？
• RQ2 リフトなしの凸最適化法を用いて、$O(k\log(n/k))$の位相なしガウス測定から$k$-スパース信号を回復することは可能か？
• RQ3 初期化ベクトルと真の信号との相関が、回復性能およびサンプル複雑度に与える影響は何か？
• RQ4 非ゼロエントリの大きさが有界であると仮定しないで、理論的保証を確立することは可能か？
• RQ5 スパース信号の正確な回復を保証するための$\ell_1$正則化パrameter$\lambda$の役割は何か？

主な発見

• SparsePhaseMaxは、$m = O(k\log(n/k))$の位相なしガウス測定から、高確率で$k$-スパース信号$x_0$をグローバル符号を除き回復する。
• 初期化ベクトル$\phi$が正規化された信号$x_0/\|x_0\|_2$と相関$\alpha > 0$を持つ場合、$\lambda \in \left(\frac{1}{2}\frac{\alpha}{\sqrt{k}}, \frac{3}{4}\frac{\alpha}{\sqrt{k}}\right)$の範囲で選択すれば回復が保証される。
• この方法は最適なサンプル複雑度を達成し、情報理論的下界と対数要因を除いて一致する。
• 失敗確率は$1 - C_2 e^{-c\alpha^{-2/5} m^{4/5} k^{1/5}}$の指数関数的減少を示し、$\alpha$が定数で下限されれば$1 - C_2 e^{-ck}$に簡略化される。
• 証明は、位相なし圧縮センシングと1ビット圧縮センシングの間の新しい関係を確立し、より鋭い集中不等式の境界を可能にする。
• この結果は、$x_0$の非ゼロエントリが定数大きさであると仮定しないで成立し、先行研究の制限的な仮定を排除する。