[論文レビュー] Compression functions of uniform embeddings of groups into Hilbert and Banach spaces

Goulnara Arzhantseva, Cornelia Druţu+1 more|ArXiv.org|Dec 14, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、任意のヒルバート空間圧縮 α ∈ [0,1] を持つ有限生成群を構成し、Guentner と Niblo が提起した問題を解決する。特定の度合いの埋め込みをもつグラフの群構成を用いて、漸近次元が 2 以下で、一様凸なバナッハ空間圧縮がヒルバート空間圧縮と等しくなるような正確な群を達成しており、圧縮 0 を持つこのような群の最初の例を提供する。

ABSTRACT

We construct finitely generated groups with arbitrary prescribed Hilbert space compression αfrom the interval [0,1]. For a large class of Banach spaces E (including all uniformly convex Banach spaces), the E-compression of these groups coincides with their Hilbert space compression. Moreover, the groups that we construct have asymptotic dimension at most 3, hence they are exact. In particular, the first examples of groups that are uniformly embeddable into a Hilbert space (respectively, exact, of finite asymptotic dimension) with Hilbert space compression 0 are given. These groups are also the first examples of groups with uniformly convex Banach space compression 0.

研究の動機と目的

• 任意の指定されたヒルバート空間圧縮 α ∈ [0,1] を持つ有限生成群を構成し、Guentner と Niblo が提起した問題に答えること。
• 一様凸な空間（特に一様凸な空間を含む）E の広いクラスに対して、これらの群の E-圧縮がヒルバート空間圧縮と等しいことを示すこと。
• これらの群が漸近次元が 2 以下であることを示し、それにより正確でかつヒルバート空間に一様に埋め込めることが示されること。
• 一様凸バナッハ空間圧縮 0 を持つ群の最初の例、およびヒルバート空間圧縮 0 を持つ正確な群の例を提供すること。

提案手法

• 頂点群 M_k がすべて有限群であるようなグラフの群 G を構成し、Bass-Serre 樹上の特定の度合いの構造を用いる。
• ρ を劣加法的で増加関数とするとき、ρ-重み付きノルムの重み付き和を用いて π: G → ℓ²(Γ) なる 1-リプシッツ写像を定義する。
• コーシー・シュワルツの不等式と ρ の劣加法性を用いて、π(g) − π(h) の ℓ²-ノルムを d_G(g,h) と対数因子の下限で抑え込む。
• 群の要素同士の相対的位置（ケース S と B）に関する場合分けを用いて、埋め込みの歪みの下限を導出する。
• すべての有限生成部分群が漸近次元 ≤1 であることと、グラフの群の漸近次元に関する既知の定理を用いて、G の漸近次元が 2 以下であることを示す。
• 構成された群の圧縮ギャップが、ρ の成長と木上の対数的重み関数に依存することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の指定されたヒルバート空間圧縮 α ∈ [0,1] を持つ有限生成群を構成することは可能か？
• RQ2 構成された群は、一様凸バナッハ空間圧縮がヒルバート空間圧縮と等しいか？
• RQ3 ヒルバート空間圧縮 0 を持つ正確な群は存在するか？ もし存在するならば、有限な漸近次元をもつように構成可能か？
• RQ4 このような群において、圧縮ギャップとBass-Serre 樹の度合い構造との関係は何か？
• RQ5 この構成を、任意の関数 f に対して (f/log x, f) 形式の圧縮ギャップを持つ群を得られるように拡張可能か？

主な発見

• 著者らは、すべての α ∈ [0,1] に対して、ヒルバート空間圧縮が正確に α である有限生成群を構成した。
• 構成された群は漸近次元が 2 以下であるため、正確でかつヒルバート空間に一様に埋め込める。
• すべての一様凸バナッハ空間 E に対して、これらの群の E-圧縮はヒルバート空間圧縮と等しい。
• これらの群は、ヒルバート空間圧縮 0 を持ち、正確かつ有限な漸近次元をもつ群の最初の既知の例である。
• この構成により、一様凸バナッハ空間圧縮 0 を持つ群の最初の例が得られた。
• 構成された群の圧縮ギャップは、対数項を含む関数によって下限が抑えられ、埋め込みにおける度合いの歪みを反映している。